Dwumian Newtona

Matematyka – przedmiot, który często sprawia nam problem – Dwumian Newtona

Współczesny problem
Bardzo często możemy się spotkać z takim problemem, że ludzie nie rozumieją matematyki, głównie osoby młode, uczące się w liceum, bądź na studiach. To też wszystko zależy od tego, jaki mamy umysł – ścisły, czy humanistyczny? Natomiast dużo zależy od naszego wkładu, ponieważ większość osób preferuje naukę indywidualną, a jeszcze lepiej, z drugą osobą, która nam wszystko wytłumaczy. Jakie są dobre sposoby na radzenie sobie ze stresem, związanym z tym przedmiotem, oraz jak można nieco bardziej ją zrozumieć?

Korepetycje, nauka we dwójkę, a może Internet?
Zanim odpowiemy sobie na pytanie, dotyczące głównego problemu, to koniecznie trzeba rozważyć drugi problem. Czyli: Jaki sposób będzie dla mnie najlepszy i najbardziej skuteczny? Jak to mówią:,, Człowiek jest jak czysta tablica’’, w związku z tym, nasza wiedza jest zależna od doświadczeń, zaangażowania itp. To my jesteśmy odpowiedzialni, co przekażemy naszemu mózgowi i w jaki sposób, aby mógł to sobie przyswoić. Oczywiście, że mimo starań, jeden robi to wolniej, a drugi dużo szybciej, ale wiele daje nam podejście, czyli inaczej mówiąc systematyczność. Masz możliwość skorzystać z Internetu, a w tym z filmików na YouTube, gdzie jest wszystko dokładnie wytłumaczone krok po kroku, zaczynając od wzorów, kończąc na odpowiedzi. Kolejna możliwość, to pomoc drugiej osoby, korepetytor, bądź znajomy, który rozumie dany temat (wiele osób wybiera taką opcję, gdyż najbardziej skuteczna okazuje się nauka z pomocą drugiej osoby). Dodatkowo, istnieje wiele portali, które tłumaczą jak rozwiązać jakieś zadanie, tylko, że w formie pisemnej. Dzięki temu możemy powoli wszystko analizować samemu i na tej podstawie rozwiązywać zadania, od prostych do coraz trudniejszych.

Dwumian Newtona, Twierdzenie Pitagorasa – skąd się wzięły te nazwy?

Czasami możemy się spotkać z nazwiskami znanych osób, jeśli chodzi o matematykę. Są to głównie filozofowie, matematycy, no i oczywiście osoby, które indywidualnie wymyślili dane wzory. Jednym z przykładów jest znane twierdzenie Pitagorasa, które również pochodzi od nazwiska Pitagoras. Był to grecki filozof i matematyk, urodzony około 572r. p.n.e. Założył szkołę filozoficzną, która przekształciła się w związek pitagorejski. Jego uczniowie również zauważyli wiele rzeczy w momencie, gdy wraz z Pitagorasem obficie współpracowali. Między innymi udowodnili, że suma kątów w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu, oprócz tego, jako pierwsi odkryli liczby niewymierne, wyodrębnili liczby parzyste i nieparzyste, jak również wprowadzili pojęcie podobieństwa figur. Sami możemy zauważyć, że Pitagoras był konsekwentnym i wpływowym nauczycielem, gdyż, przelał’’ swoim uczniom naprawdę sporą ilość wiedzy, która zostaje bardzo często wykorzystywana do dziś. Ale to jeszcze nie koniec! Na samym końcu tej ambitnej listy uczniów, warto wspomnieć, że sformułowali także zasady budowy wielościanów foremnych! W dawnych czasach nie brakowało ścisłych umysłów oraz teorii, a nauka została korzystnie przekazana z pokolenia na pokolenie. Twierdzenie Pitagorasa jest bardzo często wykorzystywane obecnie w szkołach, w podstawówce, w liceum, a czasami nawet na studiach. Mimo wszystko, warto sobie przypomnieć teorię i wzór:

– Jeżeli a i b są długościami przyprostokątnych, zaś c długością przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, to zachodzi związek:

a2+b2=c2

Powyższy wzór jest jednym z najłatwiejszych wzorów, no i można zauważyć pewną rzecz: jest łatwy do zapamiętania. W związku z tym, wystarczy poobserwować parę zadań, podstawić wzory, uważnie się przyglądając jak je wykonać i wszystko stanie się jasne. Kluczem do zrozumienia jest regularna praca, korzystanie z karty wzorów i wykonywanie różnych ćwiczeń z podręczników, Internetu, a nawet z arkuszy maturalnych. Wszystko jest kwestią nawyku!

Dwumian Newtona
Podobnie jak w Twierdzeniu Pitagorasa, Dwumian Newtona pochodzi od popularnego Isaaca Newtona, który w swoim życiu odkrył również wiele różnych teorii, znaczeń, wzorów, które korzystnie wpłynęły na współczesną naukę. Przykładowo: Doszedł do wniosku, że białe światło jest mieszaniną wszystkich kolorów tęczy, oprócz tego wprowadził znane w fizyce prawa dynamiki, jak również prawo powszechnego ciążenia. Albowiem jedno z tych odkryć stało się najbardziej popularne, ponieważ bez niego nie istniałaby nowożytna nauka – był to rachunek całkowy. Jednakże, to nie jest koniec, ponieważ wniósł mniejsze odkrycia, a w tym: termodynamikę oraz akustykę. Nie chodzi jednak o same pojęcia, ale o obfite zmiany. Do dzisiaj jest używany wzór pod jego nazwą w szkołach, czyli właśnie: Dwumian Newtona. Jest to klasyczna nazwa twierdzenia, które nazywamy również: wzorem dwumianowym (dwumiennym), a także wzorem Newtona. Poniżej wzór:

(x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn−1y1+(n2)xn−2y2+…+(nn−1)x1yn−1+(nn)x0yn – gdzie symbol (nk) oznacza współczynnik dwumianowy i jest obliczany ze wzoru:
(nk)= n!k!⋅(n−k)!
Zauważmy jedną rzecz: Każdy dwumian ma sumę wykładników równą n. Przykładowo wzór dla dwumianu: Mamy sumę wykładników potęg równą: (n−2)+2=n
Na pierwszy rzut oka wydaje się to bardzo skomplikowane, ale w rezultacie tak nie jest. Zauważmy, że podobnie jest z nowym materiałem w szkołach, bądź na maturze z matematyki: Na pierwszy rzut oka jesteśmy przerażeni treścią, wyglądem zadania, bądź po prostu samymi wzorami. Jednak, jeśli mieliśmy okazję i chęci nad tym popracować, z biegiem czasu wszystko wydaje się znajome i całokształt nie wydaje się już taki trudny jak poprzednio. Zasada jest taka: Gdy umiemy sprawnie liczyć symbole Newtona (nk), to taki rachunek możemy wykonać dużo szybciej. Wzorujmy się na przykładzie, który jest jednym z kilku rozwiązań, jest krótsze:

Przykład 1: Zapisz wyrażenie (x+7)3 stosując dwumian Newtona.
Rozwiązanie:
(x+7)3=(30)x3⋅70+(31)x2⋅71+(32)x1⋅72+(33)x0⋅73==x3+3×2⋅7+3x⋅49+73==x3+21×2+147x+343

Praktyka czyni mistrza – dodatkowa pomoc popularnej strony internetowej

Już wcześniej wspomniano, że warto ćwiczyć, jednak główną pomocą w takich trudniejszych zadaniach jak te, jest po prostu wzorowanie się na przykładach. Dzięki obserwacjom możemy nauczyć się dość sporo, a zwłaszcza, jeśli jesteś typem wzrokowca. Popularnym portalem, który ratuje niejednego człowieka w kryzysie matematycznym, jest strona matemaks. Niejeden uczeń chwali sobie pomoc tego znanego człowieka, który ma uporządkowane działy, z podanym poziomem trudności, z notatką na początku, która mówi nam na czym polega dany wzór, oraz przykłady rozwiązań. Na tej podstawie, choć może się wydawać, że samodzielna nauka nie ma rezultatów, to nie zawsze się to sprawdza, jeśli jest wszystko schludnie wytłumaczone. Jeżeli natomiast potrzebujemy większej pomocy, można skorzystać również z pakietu, który oferuje szerszą pomoc, z udziałem założyciela strony. Co jest najkorzystniejsze? Otóż, nie bez powodu na forach ta strona jest często rekomendowana, gdyż osoby, które całkowicie nie rozumiały matematyki, a w tym powyższy Dwumian Newtona, widzą zmianę. Przedmiot sprawia im mniejszy trud, gdyż na podstawie wideo, rozpisek na stronie, niejeden z nas jest w stanie to zrozumieć. Tempo jest dostosowane, wszystko od początku wytłumaczone, wykorzystany wzór napisany, łącznie z wytłumaczeniem, dlaczego ten, a nie inny. Aby samemu się o tym przekonać, warto przejrzeć stronę i na jej podstawie analizować dany temat. Oczywiście nie należy zapomnieć, że taka nauka nie wystarczy raz w tygodniu – w miarę możliwości warto przestudiować wszystko nawet do czterech razy, w zależności od tego, ile potrzebujemy czasu. Choć matematyka wydaje się trudna, w praktyce taka nie jest! Powodzenia!