Dzielenie ułamków i dodawanie ułamków

Dzielenie ułamków i dodawanie ułamków

Najlepszy sposób, na naukę ułamków. Sprawdź, jak rozwiązać każde działanie, w którym znajdują się ułamki – dodawanie i dzielenie ułamków.

Ułamki, od wielu lat, wykorzystywane są w codziennym życiu. Spotkać można je w sklepie, w wielu książkach, a nawet w przepisach kulinarnych, dzięki czemu z łatwością można przygotować ulubiony deser, lub potrawę. Czym są ułamki, oraz w jaki sposób prawidłowo je zapisać?
Ułamek jest ilorazem dwóch liczb. Liczby te, oddzielone są od siebie kreską ułamkową, przez co jedna liczba, znajduje się nad drugą. Właściwy wzór, który pozwala zapianie ułamka to {\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}{\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}, najczęściej jednak spotkać się można z zapisem a/b. Takli ułamek, nazywany jest ułamkiem zwykłym
Górna wartość- a, nosi nazwę licznik, zaś dolna- b, mianownik. Nazwy te, są bardzo ważne zwłaszcza, gdy mamy styczność z działaniami matematycznymi, jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie.

Jak dodawać ułamki?
Każdy, kto choć raz, miał styczność z ułamkami wie, że ułamki służą do zapisu liczb, które nie są całe. Co to znaczy? Prostym sposobem na wyjaśnienie czym są ułamki, są owoce, warzywa, czy wszystkie rzeczy, które można podzielić, na równe sobie części. Całe jabłko, jest wartością 1. Jeśli to samo jabłko, przekroimy na pół, uzyskamy w ten sposób ułamek, czyli część jednego jabłka. Wynik ten, zapisać należy jako 1/2. Jeśli jednak, jabłko podzielimy na 4, równe sobie części, biorąc jedną część, otrzymujemy 1/4.

Co jednak zrobić, by zapisać prawidłowo dodawanie ułamków? Na czym polega dodawanie ułamków?
Dodawanie ułamków, w zależności od zapisu, różni się od siebie. Jeśli w obu ułamkach, mianowniki są takie same, wystarczy dodać do siebie liczniki, a mianownik przepisać. Istnieje specjalny wzór, który z pewnością ułatwi, zapis działania- a/b + c/b = a+c/b – ac/b. Jak wygląda to w praktyce? O to kilka prostych przykładów, na dodawanie ułamków, o tym samym mianowniku.
1/4 + 1/4 = 1+1/4 = 2/4
1/5 + 2/5 = 1+2/5 = 3/5
2/8 + 1/8 + 2/8 = 2+1+2/8 = 5/8

Prócz ułamków, o tych samych mianownikach, można dodawać ułamki, które mają różne mianowniki. Aby wykonać te działanie, konieczne jest sprowadzenie ułamków do tego samego mianownika, dzięki czemu możliwe będzie zastosowanie dodawania. Sprowadzenie ułamków do tego samego mianownika, możliwe będzie za pomocą wzoru a/b + c/d = ad/bd + cb/bd = ad+ cb/ bd
Aby lepiej zrozumieć to działanie, warto zwrócić uwagę, na kilka przykładów, umożliwiających wykonanie tego działania.
1/2 + 2/3 = 1*3/2*3 + 2*2/2*3 = 3/6 + 4/6 = 7/6
1/20 + 10/3 = 1*3/20*3 + 20*10/20*3 = 3/60 + 200/ 60 = 203/60
1/4 + 1/3 = 1*3/4*3 + 4*3/ 4*3 = 3/12 + 12/12 = 15/ 12
Znając podstawowe wzory, dzięki czemu, można dodawać ułamki, każdy z łatwością rozwiąże działania matematyczne.

Wzór na odejmowanie ułamków.
Odejmowanie ułamków, nie jest skomplikowane. Aby jednak zrozumieć to działanie, ważne jest nauczenie się wzoru matematycznego, bez którego nie uda się poprawnie rozwiązać działania.
Tak samo jak w przypadku dodawania, najprościej jest odejmować ułamki, które mają ten sam mianownik. W ten sposób, odejmujemy od siebie tylko liczniki, a mianownik przepisujemy bez zmian. Proste przykłady, dzięki którym, każdy zrozumie, w jaki sposób odejmować ułamki, o tych samych mianownikach.
3/5-1/5 = 3-1/5 = 2/5
6/8 – 1/8 – 2/8 = 6-1- 2/8 = 3/8

Działanie to, jest na prawdę proste, i z pewnością. nie sprawi trudności. Problem jednak, pojawić się może w przypadku ułamków, o różnych mianownikach. Aby poprawnie rozwiązać to działanie, należy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, oraz skorzystać ze wzoru a/b – c/d = ad/bd – cb/bd = ad-cb/ bd
Kilka przykładów, dzięki którym, zrozumiesz odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
2/3 – 2/5 = 2*5/3*5 – 2*3/ 5*3 = 10/15-6/15 = 4/15
4/3-1/2 = 4*2/3*2 – 1*3/3*2 = 8/6 – 3/6 = 5/6

Dodawanie i odejmowanie ułamków, to tylko część działań matematycznych, które możemy wykonać za pomocą ułamków. Równie dobrze, ułamki możemy ze sobą mnożyć oraz dzielić. Na czym polega dzielenie i mnożenie ułamków? Czy dzielenie ułamków jest trudniejsze od mnożenia?
Mnożenie ułamków, czyli proste równanie matematyczne, które zrozumie każdy.

Mnożenie ułamków zwykłych, jest na prawdę proste. W tym działaniu matematycznym, nie musimy mieć ułamków o tym samym mianowniku, dzięki czemu, unikniemy sprowadzania ułamków, do tego samego mianownika. Aby wykonać mnożenie ułamków, wystarczy pomnożyć przez siebie mianowniki, oraz liczniki, korzystając ze wzoru. a/b * c/d = a*c/ b*d
Przykłady równań matematycznych, przedstawiających mnożenie ułamków.
1/4 * 2/3 = 1*2/ 4*3 = 2/12
2/1* 1/3 * 3/5 = 2*1*3/ 1*3*5 = 6/15
6/1 * 3/2 * 1/5 = 6*3*1/ 1*2*5 = 18/ 10

W przypadku dzielenia ułamków, zadanie jest nieco trudniejsze, jednak przy podstawowej wiedzy o ułamkach, każdy poradzi sobie z rozwiązaniem działania. Aby podzielić ułamki, należy pierwszy ułamek pozostawić bez zmian, natomiast w drugim, zastosować zamianę licznika z mianownikiem. Powstałe wartości, należy ze sobą pomnożyć, by otrzymać prawidłowy wynik. Wzór, jaki należy zastosować do tego równania to a/b : c/d = a/b * d/c = a*d/b*c
Przykładowe równania, które pokazują, jak podzielić ułamki.
1/2 : 3/4 = 1/2 * 4/3 = 1*4 / 2*3 = 4/6
5/2 : 3/9 = 5/2 * 9/3 = 5*9 / 2*3 = 45/6

Dzięki znajomości wzorów, każdy poradzi sobie z rozwiązaniem dowolnego działania matematycznego, z udziałem ułamków. Ale czy to wszystkie, ważne informacje, które trzeba poznać, przed rozwiązaniem działań matematycznych z ułamkami? Nie! Ułamki, kryją w sobie wiele niewiadomych, które należy poznać.

Co powinien wiedzieć każdy, na temat ułamków? Najważniejsze informacje dotyczące ułamków, oraz działań.
Ułamki dzielimy na kilka rodzajów: zwykłe, dziesiętne, okresowe, niewłaściwe oraz mieszane. Każde z nich, wyróżnia przede wszystkim forma ich zapisu.
Ułamki zwykłe, są najprostszymi ułamkami, które możemy rozróżnić, oraz za ich pomocą, wykonać działania matematyczne, takie jak dodawanie, odejmowanie mnożenie i dzielenie ułamków. Ich zapis, jest banalnie prosty. Jest to licznik, kreska ułamkowa oraz mianownik.
Przykładami ułamków zwykłych jest
3/4
1/6
10/5
Ułamek dziesiętny, zapisywany jest jako wartość po przecinku, bez zastosowania kreski ułamkowej. Ta forma ułamków, nie jest często wykorzystywana, gdyż uznawana jest, za mniej czytelną. Ułamek ten, zapisuje się w formie dziesiętnej, lub potędze liczby 10.
Przykłady ułamków dziesiętnych.
0,1 = 1/10
0, 300 = 300/1000
0/ 4500 = 4500/ 10000
1,1 = 1 1/10
2,45 = 2 45/100

Prócz ułamka dziesiętnego, istnieje również ułamek dziesiętny nieskończony. Ułamek ten, posiada nieskończone rozwinięcie dziesiętne, które może mieć charakter okresowy, lub dowolny ciąg liczb. Przykładami tego typu ułamków, jest π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375…, oraz e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995… W przypadku liczby π, stosuje się znak ≈, który oznacza, że liczba ma nieskończoną ilość liczb. Jest to bardzo istotne, dlatego nie należy używać znaku równości.

Ułamki okresowe, to ułamki, które się nie kończą, jednak jakaś grupa liczb, powtarza się w równaniu. Grupę tą, zapisuje się w nawiasie. Aby zrozumieć ułamki okresowe, zwróć uwagę na poniższe przykłady.
0,(1) = 0,11111111…
0,1(12) = 0,1121212121212121212..
13, (20) = 13. 2020202020202020..
17,123(21)= 17,1232121212121..
Ułamki niewłaściwe, to rodzaj ułamka, który charakteryzuje się większym licznikiem, niż mianownikiem. Tak samo jak w przypadku ułamków zwykłych, zapisuje się go jako licznik nad mianownikiem, przedzielony kreska ułamkową, czyli a/b. Poniżej kilka ułamków niewłaściwych.
6/1
13/7
8/5
100/12
4500/100
Ostatnim rodzajem ułamków, jest ułamek mieszany. Ułamek ten, choć może brzmieć skomplikowanie, jest bardzo prosty. Od zwykłego ułamka, wyróżnia go całość, która znajduje się przed ułamkiem. Liczba całości., powstaje między innymi, przez skrócenie ułamka.
Przykładem ułamka mieszanego jest:
1 1/8 = 9/8
2 2/3 = 8/3
1 3/10 = 13/10
Jak zamienić ułamek zwykły na mieszany ? Aby zamienić ułamek zwykły na mieszany, należy wyciągnąć całość, dzieląc licznik przez mianownik. Liczbę całą, zapisujemy przed ułamkiem, a następnie dopisujemy pozostałość, czyli ułamek. Jak to zrobić? Oto proste przykłady.
18/4 = 4 2/4
10/3 = 3 1/3 Jak obliczyć to równanie ?
Sprawdzamy, ile wartości mianownika jest w liczniku, a następnie dopisujemy ułamek. Na przykład 11/3 to 3 2/3 dlaczego? Bo 3*3 = 9 11-9 = 2 czyli wynik to 3 2/3.
Zamiana ułamka mieszanego na zwykły, jest jeszcze prostsza. Mnożymy Całość przez mianownik, i dodajemy licznik. Wynik wpisujemy na miejscu licznika, a mianownik przepisujemy.
4*4+2/4 = 18/4
10 1/5 = 51/5 bo 10*5+1/5 = 51/5
3 2/3 = 3*3+2/3 = 11/3
Prócz wielu rodzajów ułamków, warto wiedzieć, że prócz dodawania, odejmowania oraz dzielenia i mnożenia ułamków, można je również skracać. Skracanie ułamków, nie jest trudnym działaniem. Wystarczy podzielić licznik oraz mianownik, przez tą samą liczbę, doprowadzając w ten sposób do postaci prostej.
Przykłady skracania ułamków do postaci prostej.
4/8 = 2/4 = 1/4 lub 4/8= 1/ 4
8/4 = 4/2 = 2/1 lub 8/4 = 2/1
Tak samo jak w przypadku dzielenia ułamków, czy ich odejmowania, istnieje równanie odwrotne. W tym przypadku, rozszerzanie ułamków. Na czym ono polega? Wystarczy pomnożyć licznik oraz mianownik, przez liczbę większą od zera.

Przykłady rozszerzania ułamków.
2 * 1/4 = 2*1/ 2*4 = 2/8
3 * 5/3 = 3*5/3*3 = 15/9
15 * 1/2 = 15*1/15*2 = 15/30
Ułamki, są na tyle popularne, że każdy z nas, używa ich na co dzień. Najczęściej, spotkać można się z ułamkami zwykłymi, oraz dziesiętnymi, które pozwalają określić ilość płynu czy produktu, dlatego chętnie wykorzystywane są, podczas tworzenia przepisów kulinarnych. Warto poznać ich rodzaje, oraz nauczyć się wykonywania prostych działań, które przydadzą się na co dzień.
Jeśli dotychczas, dzielenie i mnożenie ułamków było dla Ciebie czarną magią, koniecznie naucz się prostych wzorów, które ułatwią Ci obliczenie każdej wartości. Wystarczy pod wzór, podłożyć dowolne liczby, i wykonać równanie. Taki sposób, przyda się zarówno w szkole, na uczelni oraz w pracy, gdzie znajomość tych działań, jest bardzo ważna.