Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa – wzory i zadania

 

Matematyka – krótka historia na temat „królowej nauk”.

Matematyka w dosłownym tłumaczeniu z języka starego greckiego oznacza m.in. „naukę, lekcję, poznanie”, znaczy dosłownie „uczyć się, dowiadywać się”. Jest to nauka ścisła związane bardzo mocno z liczbami. Jest bardzo rozległa dziedzina, która swoim zakresem obejmuje bardzo wiele innych węższych dyscyplin naukowych. Matematyka nie posiada jednej krótkiej definicji, która byłaby w stanie ją opisać.

Matematyka, jako dyscyplina naukowa rozwijała się już od zarania dziejów stale rozszerzając swój zakres, pogłębiając problematykę, pogłębiając treść i ją doskonaląc. Nauka ta rozwijała się w różnych częściach odrębnie a przy tym nierównomiernie. Jednymi z najstarszych znanych tekstów matematycznych są m.in.: papirus moskiewski pochodzący z Egiptu z ok. 1850 p.n.e.. Należy więc przypuszczać, że matematyka towarzyszyła ludziom od zawsze. Ze starożytnych Chin pochodzą takie proste przyrządy do liczenia, jak suanpan czy abakus. Sumerowie zaś jako pierwsi zapisali pismem klinowym tabliczkę mnożenia i proste działania matematyczne, takie jak np. dzielenie, dodawanie, odejmowanie, ułamki itp. Babilończycy znali system sześć dziesiątkowy.
Jednakże najwybitniejszy starożytni matematycy o których ciągle słyszymy na zajęciach matematyki pochodzą z Grecji.

To właśnie Półwysep Apeniński stał się niejako źródłem m.in. twierdzenia Pitagorasa czy też trójki pitagorejskiej. Grecy słynęli z wysoko rozwiniętej logiki i wyprowadzania wniosków z definicji i aksjomatów. Należy wspomnieć, że solidne fundamenty pod dzisiejszą matematykę położyli wszystkim znani Tales z Miletu i Pitagoras. Należy jednak też wspomnieć o Eukildesie, który to napisał dzieło „Elementy”, które poruszało takie rzeczy, jak dowód niewymierności pierwiastka z dwóch i dowód na to, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Funkcja kwadratowa – czym ona jest?
Funkcja kwadratowa przedstawiana jest następującym wzorem:

f(x) = ax^2 + bx + c

a, b, c są to liczby rzeczywiste, natomiast a musi być różne od 0.

Funkcje kwadratową nazywa się również trójmianem kwadratowym. Oznacza to, że funkcja kwadratowa wyznaczana jest przez wielomian drugiego stopnia.

Funkcją kwadratową możemy nazwać taką funkcję, która spełnia następujące trzy warunki:

1) Występuje w niej x^2

2) Może pojawić się w niej x

3) Może wystąpić w niej jakakolwiek liczba stała

Przykład funkcji kwadratowej:

y = (12x)^2

y = (95x)^2 + 4x – 3

y = (x – 6)^2

y = (x – 4)(x + 6)

y = (2x + 9)^2 – 1

y = (x + 2)(x + 9)

Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola! Ze wzoru funkcji kwadratowej (ale tylko w postaci ogólnej) jesteśmy w stanie odczytać, czy ramiona naszej paraboli będą skierowane w górę (a > 0), czy raczej do dołu (a < 0) oraz określić punkt przecięcia paraboli z osią OY.

Jak obliczyć miejsca zerowe?

Funkcja kwadratowa wiąże się z takimi pojęciami, jak m.in. miejsca zerowe. Czym są miejsca zerowe? Miejsca zerowe funkcji to takie argumenty x dla których funkcja przyjmuje wartość 0. To właśnie z równania funkcji możemy wyznaczyć miejsca zerowe, a następnie zaznaczyć je na wykresie.
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej możemy najczęściej obliczyć wyznaczając z postaci ogólnej funkcji kwadratowej: y = ax^2 + bx + c współczynniki a, b, c przy kolejnych potęgach x. Możemy jednak również obliczyć deltę. Miejsca zerowe występują w funkcji tylko i wyłącznie w momencie, gdy delta jest większa od zera. W przypadku, gdy delta jest równa zero to występuje tylko jedno miejsce zerowe.

Wzór na deltę:

Δ = b^2 – 4ac

Wzór na miejsca zerowe:

x0 = -b/ 2 * a

x1 = (-b – √ Δ)/ 2 * a)

x2 = (-b + √ Δ/ 2 * a)

Przykładowe zadania dotyczące funkcji kwadratowych i wyznaczania miejsc zerowych dla przećwiczenia.

1) Wyznacz miejsca zerowe z następującej funkcji: y = -12x^2 – 11x + 13

2) Wyznacz miejsca zerowe z następującej funkcji: y = 81x^2 – √16x + 22

3) Wyznacz miejsca zerowe z następującej funkcji: y = x^2 + 2√8x – 1

4) Wyznacz miejsca zerowe z następującej funkcji: y = 4√2x^2 –89x

5) Wyznacz miejsca zerowe z następującej funkcji: y = 3x^2 + 44x + 2√49

Funkcja kwadratowa ma następujące własności:

a) Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji zawsze jest określona. Zbiorami wartości dziedziny są przedział od q do nieskończoności, jeżeli a jest większe od 0, natomiast gdy a jest mniejsze od 0 to przedział zawiera się od – nieskończoności do q.

b) Funkcja charakteryzuje się monotonicznością, czyli to znaczy, że maleje/rośnie w przedziale od – nieskończoności do p, po czym rośnie/maleje w przedziale od p do nieskończoności, jeżeli a jest większe/mniejsze od zera.

c) Pochodnymi funkcji są:

f’(x) = 2 ax + b

f’(x) = 2a

f^n = 0 dla n > 0

d) Funkcja jest wypukła dla a, które jest większe od 0 i wklęsła dla a, które jest mniejsze od 0.

e) Funkcja jest parzysta wyłącznie dla p, które jest równe 0. Funkcja nigdy nie jest nieparzysta.

f) Funkcja pierwotna funkcji kwadratowej przedstawia się w następujący sposób:

f(x) = (1/3ax)^3 + (1/2bx)^2 + cx + C

Funkcja kwadratowa – wzory

Postać ogólna funkcji:

f(x) = ax^2 + bx + c

Postać kanoniczna funkcji:

f(x) = a ( x – p)^2 + q

p, q à są to współrzędne wierzchołka paraboli, która stanowi wykres funkcji kwadratowej. W = (p, q)
Współrzędne te możemy obliczyć z następujących wzorów:

p = -b/ 2a

q = – Δ/ 4a

Dodatkowo po współczynniku a jesteśmy w stanie określić, czy ramiona paraboli są skierowane do góry ( jeżeli a jest większe od 0 ), czy skierowane są do dołu ( jeżeli a jest mniejsze od 0).

Postać iloczynowa funkcji:

f(x) = a( x – x1)(x – x2)

x1 i x2 są to miejsca zerowe funkcji i to od nich zależy, czy funkcja iloczynowa w ogóle istnieje (delta musi być większa od zera, żeby istniały miejsca zerowe). Dodatkowo po współczynniku a jesteśmy w stanie określić, czy ramiona paraboli są skierowane do góry ( jeżeli a jest większe od 0 ), czy skierowane są do dołu ( jeżeli a jest mniejsze od 0).

Z funkcji kwadratowej jesteśmy również w stanie wyznaczyć oś symetrii paraboli z następującego wzoru:

x = -b/2a

Przykładowe zadania dotyczące funkcji kwadratowych i wyznaczania osi symetrii paraboli dla przećwiczenia.

1) Wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y =-(2x)^2 + 4x – 11.

2) Wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y =-(2x)^2 + 8x + 6.

3) Wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y =-x^2 – 4x – 2100.

4) Wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y =21x^2 – x + 8√49.

5) Wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y =-(16x)^2 + 16x – 2341.

Wzory Viete’a

Wzory Viete’a dotyczą pierwiastków wielomianu z jego współczynnikami. Ich twórcą jest francuski matematyk François Viète.

x1 + x2 = – b/a

x1 * x2 = c/a

Różne zadania z funkcji kwadratowej.
1) Z funkcji kwadratowej y = (34x)^2 – 5x + 66
– Wyznacz z funkcji współczynniki a, b, c.
– Odpowiedz na pytanie, czy parabola jest skierowana ramionami do góry, czy do dołu.
– Wyznacz deltę i odpowiedz na pytanie, ile miejsc zerowych ma ta funkcja.
– Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
– Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli.
– Określ współrzędne przecięcia się paraboli z osiami X i Y.
– Wyznacz wartość funkcji dla argumentu -5.
– Wykonaj wykres tej funkcji.
– Sprawdź, czy punkt (6,9) należy do wykresu funkcji.
– Określ dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od zera, a dla których argumentów wartości te są mniejsze.
– Wyznacz współrzędne punktów przecięcia się danej funkcji kwadratowej y = (34x)^2 – 5x + 66z funkcją liniową y = 6x + 13

2) Z funkcji kwadratowej y = -(4x)^2 + 6x – 12√225.
– Wyznacz z funkcji współczynniki a, b, c.
– Odpowiedz na pytanie, czy parabola jest skierowana ramionami do góry, czy do dołu.
– Wyznacz deltę i odpowiedz na pytanie, ile miejsc zerowych ma ta funkcja.
– Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
– Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli.
– Określ współrzędne przecięcia się paraboli z osiami X i Y.
– Wyznacz wartość funkcji dla argumentu 6.
– Wykonaj wykres tej funkcji.
– Sprawdź, czy punkt (1,3) należy do wykresu funkcji.
– Określ dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od zera, a dla których argumentów wartości te są mniejsze.
– Wyznacz współrzędne punktów przecięcia się danej funkcji kwadratowej y = -(4x)^2 + 6x – 12√225 z funkcją liniową y = 5x – 10

3) Z funkcji kwadratowej y = -(x)^2 + 25x – 6
– Wyznacz z funkcji współczynniki a, b, c.
– Odpowiedz na pytanie, czy parabola jest skierowana ramionami do góry, czy do dołu.
– Wyznacz deltę i odpowiedz na pytanie, ile miejsc zerowych ma ta funkcja.
– Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
– Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli.
– Określ współrzędne przecięcia się paraboli z osiami X i Y.
– Wyznacz wartość funkcji dla argumentu – 1/10
– Wykonaj wykres tej funkcji.
– Sprawdź, czy punkt (-1, -3) należy do wykresu funkcji.
– Określ dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od zera, a dla których argumentów wartości te są mniejsze.
– Wyznacz współrzędne punktów przecięcia się danej funkcji kwadratowej y = −(x)^2 + 25x – 6 z funkcją liniową y = −3x + 5

4) Wykaż, że jeżeli:

– c < 0 to funkcja y = x^2 + bx + c ma dwa różne miejsca zerowe.

– funkcja kwadratowa f(x) = x^2 + (b + 3)x + 3b, ma co najmniej jedno miejsce zerowe dla każdej wartości parametru b.

– funkcja kwadratowa f(x) = ax^2 + (a + c)x + c ma co najmniej jedno miejsce zerowe dla a, pamiętając, że a jest różne od zera.

– funkcja kwadratowa f(x) = (12x)^2 – 14x + 6/ x^2 + 2x – 5 nie ma ani jednego miejsca zerowego.

5) Wyznacz:

– wszystkie wartości parametru s dla których równanie (2x)^2 + 4(1 – s)x + (4s)^2 – s = 0 ma dwa różne rozwiązania.

– wszystkie wartości parametru s dla których równanie x^2 – 2(1 – 3s)x + (1/2s)^2 – s = 0 ma tylko jedno rozwiązanie.

6) Dla jakiego parametru s liczba x = 2 jest miejscem zerowym funkcji f(x) = -(4x)^2 + 2sx – 1?

7) Znajdź postać kanoniczną dla funkcji kwadratowej:

-) f(x) = (x – 2)^2 – 12

– ) f(x) = (18x + 2)^2 + 2

– ) f(x) = (5x – 2)^2 + 3

– ) f(x) = (x + 20)^2 – 2

– ) f(x) = (12x + 2)^2 + 24

8) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli następującej funkcji określonej wzorem:

-) f(x) = x^2 – 2x + 2

-) f(x) = -(23x)^2 + 4x – 4

-) f(x) = x^2 – 17x + 12

-) f(x) = -(3x)^2 + 3x – 21