Liczba Eulera

Liczba Euulera- wszystko co musisz wiedzieć na ten temat

Matematyka jest nauką, która opiera się na logice, jednak dla wielu wydaje się on trudna, szczególnie niektóre jej zagadnienia. Dzisiaj przyjrzymy się dokładniej jednemu z nich, a dokładnie liczbie Eulera

Liczba Eulera- definicja i historia, czyli wszystko co trzeba wiedzieć

Liczba Eulera jest stałą matematyczną. Często określa się ją jako liczbę Nepera czy podstawę logarytmu naturalnego. Jest na szeroki sposób wykorzystywana nie tylko w matematyce, ale i fizyce. Oznaczana jest za pomocą litery e. Jej wartość w przybliżeniu wynosi e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…
Liczba e nie była znana w matematyce w starożytności w przeciwieństwie do liczby pi. Pierwsze wzmianki na jej temat pojawiły się dopiero w XVI wieku dzięki szkockiemu naukowcowi Johnowi Napier (Nepera). Ułożył on tablice logarytmów, które szczególnie były mocne podczas rozwiązywania obliczeń i zadań astronomicznych. Warto tutaj wiedzieć, że zostały wymyślone po to, aby można było zamieniać mnożenie na dodawanie, co znacząco ułatwiłoby rozwiązywanie wielu zadań. Przez setki lat tablice logarytmów pomagały astronomom w najbardziej trudnych obliczeniach. Jednak od czasu pełnej komputeryzacji ich znaczenie spadło i coraz bardziej i aktualnie korzysta się z niego bardzo rzadko. Liczbę e definiujemy jako granicę e=limn→∞(1+1n)n. Uznaje się, że jest to przybliżenie do 2.718281828459045235360287…, liczby niewymiernej i niealgebraicznej. W 1873 roku Charles Hermite stwierdził, że e jest przestępna. Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera (Napera), choć aktualnie najczęściej stosuje się oznaczenie za pomocą litery „e” Wymyślił jest i wprowadził już w 1736 roku Leonhard Euler. Ten naukowiec zajmował się badaniem liczb i ich zastosowaniem, a przy tym nadawał im nazwy, dzięki który szybko i łatwo można je było zapamiętać i stąd właśnie wzięła się litera „e”.

Jak można otrzymać liczbę „e”?

Liczbę e można otrzymać na szereg różnych sposobów. Jednym z nich jest wynik wynik sumy szeregu odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych. Co można przedstawić za pomocą wzoru e=∑n=0∞1n!=1+11!+12!+13!+…+1(n−1)!+1n! Tutaj należy wiedzieć, że im większe n tym możemy otrzymać zdecydowanie dokładniejsze przybliżenie. Zatem korzystając z tego wzoru otrzymujemy nie tylko łatwo, ale i szybko bardzo dobre przybliżenia. Ale przybliżoną wartość liczny e możemy obliczyć także z wzoru ex=∑n=0∞xnn!, który jest niczym innym jak tylko rozwinięciem funkcji wykładniczej, co wyraża się jako f(x) = ex w tzw. szereg Maclaurina
Można stosować także oznaczenia, gdzie ex = exp(x) (wykładnik po łacinie to exponens). W tym przypadku trzeba wiedzieć, że sama funkcja wykładnicza f(x) = ex posiada pochodną, która jest równa samej sobie.

Skąd wzięły się logarytmu i gdzie występuje liczba e”

Zadaniem logarytmów jest zamian mnożenia na dodawania. co oznacza, że funkcje logarytmiczne są odwrotne do tych wykładniczych i dlatego też e jest uznawane na podstawę tej odwrotnej do logarytmu naturalnego funkcji. Każdy logarytm, który znajduje się przy podstawie e nazywa się logarytmem naturalnym i określa się go symbolem ln. Skoro już wiadomo skąd wzięły się logarytmy to czas przejść do tego, gdzie ma zastosowanie liczba Napiera. Choć niewiele osób zdaje sobie sprawę liczba Eulera ma szerokie zastosowanie w bankowości, szczególnie w przypadku osób inwestujących pieniądze. Inwestując daną sumę pieniędzy na p% po roku zwiększamy wartość, co oznacza, że dla każdej zainwestowanej złotówki otrzymujemy (1+p100) złotych. Jeżeli np. inwestycja jest wieloletnia to po n latach zyska wzrasta do (1+p100)n złotych. Jeżeli nadal postanawiamy inwestować i okazuje się, że stopa procentowa przez kolejne lata będzie wysoka stąd decydujemy się na zainwestowanie całych oszczędności, które będziemy przez x. Jeżeli więc np. po roku wzbogacimy się i nasz zysk będzie 2 razy większy to oznaczymy to 2x. Teraz wyobraźmy sobie sytuację, że chcemy wyjąć z banku odsetki, które uznamy za naszą formę oszczędności. I tak jeśli odsetki odbierzemy po pół roku, a następnie je ponownie zainwestujemy to nasz zysk może określić poprzez wzór: x(1 + 1/2)2 = 2,25x. Co ciekawe takie funkcje możemy nawet odnaleźć w przyrodzie, ale mają szereg zastosować w społeczeństwie poprzez pryzmat badań społecznych i to w skali mikro, mezo oraz makro.

Co wynika z twierdzenie Eulera? i czym jest ciąg Eulera

Z twierdzenia Eulera wynika, że dla każdej liczby a, która jest względnie pierwsza z modułem m musi istnieć wykładnik potęgowy n, dla którego a n ≡ 1 (mod m). Tutaj warto poznać samą definicję, która pozwoli zdecydowanie łatwiej zrozumieć to zagadnienie i tak rzędem liczby a modulo m nazywamy najmniejszą liczbę naturalną r, taką, że r ≡ 1 (mod m) co oznaczamy jako ordm(a), lub ord(a, m). Pamiętajcie, że jeszcze nie tak dawno dla określenia ordm(a) używano wyłącznie terminu wykładnik potęgowy, do którego liczba a należy. Z kolei ciąg Eulera nazywamy ciągiem, którego elementy możemy przedstawić wzorem an=n2-n+41. W tym przypadku największe znaczenie ma fakt, 40 wyrazów tego ciągu są liczbami pierwszymi, jednak już dla n=41 otrzymujemy liczbę złożoną, gdzie n2-n+41 jest podzielne przez 41 dla każdego n, który daje dzielenie przez 41 resztę 0 bądź też 1.

Liczby w metodzie Eulera i potencjalny błąd

Wyróżniamy jeszcze samą metodę Eulera, która jest sposobem rozwiązywania równań różniczkowych,w tym przypadku znaczenie ma fakt iż opiera się ona na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego. Przedstawiona ją już w 1768 roku w podręczniku Leonharda Eulera pt. „”Kształcenie w rachunku różniczkowym” Sama metoda podstawowa skupia się na równaniu w postaci y’=f(x,y), gdzie warunkiem podstawowym jest (x0,y0):y0=y(x0). Ta metoda oparta jest na błędzie, ale jego ryzyko zmniejsza się x-x)wraz ze zmniejszaniem kroku h, ale rośnie wraz ze wzrostem x-x0 dla wartości h. Dlatego coraz częściej uznaje się, że jej stosowanie oparte jest na zbyt dużym, potencjalnym ryzyku błędu.