Liczba odwrotna

Czym są liczby odwrotne oraz liczby przeciwne?

Wszystko, co trzeba wiedzieć o liczbach odwrotnych
Liczba odwrotna do danej liczby a to taka liczba b, że iloczyn liczb a oraz b zawsze równa się jeden. Ciekawostką jest to, że liczbą odwrotną do odwrotnej do a jest po prostu liczba a. Najprostszą metodą znalezienia liczby odwrotnej jest zapisanie danej liczby (tej, do której szukamy liczby odwrotnej) w postaci ułamka zwykłego. Wtedy, gdy zamienimy miejscami licznik z mianownikiem (czyli należy odwrócić ułamek do góry nogami, stąd nazwa – liczba odwrotna), to otrzymamy liczbę odwrotną. Na przykład liczbę 2 można zapisać w postaci ułamka zwykłego jako 2/1, gdzie 2 jest licznikiem, zaś 1 – mianownikiem. Jeśli zamienimy miejscami jedynkę z dwójką, to otrzymamy ułamek 1/2, który jest liczbą odwrotną do liczby 2. Można łatwo sprawdzić, że iloczyn tych dwóch liczb (1 i 1/2) daje jeden. Kolejnym przykładem jest znalezienie liczby odwrotnej do ułamka 1/3. Postępując tak jak poprzednio, czyli zamieniając miejscami licznik z mianownikiem, otrzymujemy ułamek 3/1, co daje nam po prostu 3. Można szybko sprawdzić, że iloczyn liczb 1/3 i 3 jest równy jeden. Następny przykład to znalezienie liczby odwrotnej do liczby mieszanej 2 i 1/3. Najpierw zamieniamy tę liczbę na ułamek niewłaściwy – 7/3. Następnie zamieniamy licznik z mianownikiem i otrzymujemy ułamek 3/7. Oczywiście iloczyn 3/7 oraz 7/3 jest równy jeden. Następnym przykładem jest znalezienie liczby odwrotnej do liczby zapisanej w postaci ułamka dziesiętnego 0,32. Najpierw zapisujemy tę liczbę w postaci ułamka zwykłego 32/100. Teraz najlepiej zapisać ten ułamek w postaci nieskracalnej dzieląc zarówno licznik jak i mianownik przez 4. Otrzymujemy wtedy ułamek 8/25. Teraz zamieniamy miejscami licznik z mianownikiem i w ten sposób znajdujemy liczbę odwrotną 25/8, którą można zapisać w postaci liczby mieszanej 3 i 1/8. Można sprawdzić, że mnożąc liczbę 0,32 z liczbą 3 i 1/8 otrzymujemy jeden. Ostatnim przykładem jest znalezienie liczby odwrotnej do pierwiastka z dwóch. Tak jak poprzednio zapisujemy liczbę w postaci ułamka zwykłego, to znaczy (pierwiastek z dwóch)/1. Zamieniamy miejscami licznik z mianownikiem i otrzymujemy liczbę 1/(pierwiastek z dwóch). Tutaj można jeszcze pozbyć się niewymierności z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez pierwiastek z dwóch. Wtedy otrzymamy ułamek (pierwiastek z dwóch)/2. Mnożąc te dwie liczby (pierwiastek z dwóch i (pierwiastek z dwóch/2)), w wyniku otrzymamy jeden.

Czy istnieje liczba odwrotna do jedynki?
Tak, istnieje liczba odwrotna do jedynki i jest nią ona sama. Liczbę 1 zapisujemy jako ułamek 1/1, a przy zamianie miejscami licznika z mianownikiem, wartość liczby się nie zmienia. Oczywiście iloczyn 1 oraz 1 jest równy 1.

Czy istnieje liczba odwrotna do zera?
Nie, liczba odwrotna do zera nie istnieje. Dlaczego? Aby znaleźć liczbę odwrotną, najpierw trzeba ją zapisać w postaci ułamka zwykłego. Liczbę 0 można na przykład zapisać w postaci ułamka 0/3 (w miejsce trójki można wstawić dowolną liczbę oprócz zera). Teraz trzeba zamienić miejscami licznik z mianownikiem, co daje nam 3/0, ale liczba zero nie może występować w mianowniku ułamka. Zatem liczba odwrotna do zera nie istnieje.

Jak znaleźć liczby odwrotne do liczb ujemnych?
Robimy to dokładnie tak samo jak w przypadku liczb dodatnich. Najpierw trzeba zapisać liczbę w postaci ułamka zwykłego, a następnie zamienić miejscami licznik z mianownikiem. Na przykład przy szukaniu liczby odwrotnej do liczby – 5, najpierw zapisujemy w postaci ułamka zwykłego – 5/1. Następnie zamieniamy miejscami licznik z mianownikiem i otrzymujemy – 1/5. Przy mnożeniu liczb – 5 i – 1/5 oczywiście otrzymujemy 1. Trzeba pamiętać, że przy szukaniu liczby odwrotnej do liczby dodatniej liczba odwrotna również będzie dodatnia, a przy szukaniu liczby odwrotnej do liczby ujemnej liczba odwrotna będzie ujemna.

W jakich zbiorach można szukać liczb odwrotnych?
Tylko w zbiorze liczb wymiernych dla każdej liczby istnieje liczba odwrotna, ponieważ tylko liczby wymierne można zapisać w postaci ułamka zwykłego.
Wszystko, co trzeba wiedzieć o liczbach przeciwnych
Liczba przeciwna do danej liczby a to taka liczba b, że suma liczb a oraz b zawsze równa się zero. Najprościej mówiąc liczba przeciwna do danej liczby to taka, która ma taką samą wartość oraz przeciwny znak. Zaznaczając takie liczby na osi, można zauważyć, że leżą one w tej samej odległości od zera, ale po przeciwnych stronach (stąd nazwa liczba przeciwna) punktu zerowego. Ciekawostką jest to, że liczbą przeciwną do przeciwnej do a jest po prostu liczba a. Jeśli pomnożymy liczbę z liczbą do niej przeciwną, to w wyniku otrzymamy liczbę ujemną, która jest kwadratem tej liczby. Aby znaleźć liczbę przeciwną do danej liczby, należy tylko zmienić znak (z plusa na minus bądź z minusa na plus). To znaczy, że elementem przeciwnym do dodatniego jest ujemny, natomiast element przeciwny do ujemnego jest dodatni. Na przykład liczbą przeciwną do liczby 5 jest liczba – 5. Można sprawdzić, że suma tych dwóch liczb daje zero, 5 + (– 5) = 0 . Dalej liczbą przeciwną do – 1/2 jest 1/2. Tutaj też od razu widać, że suma tych dwóch ułamków wynosi zero, – 1/2 + 1/2 = 0. Następnym przykładem jest znalezienie liczby przeciwnej do liczby zapisanej w postaci ułamka dziesiętnego 0,6. Zgodnie z zasadą zmieniamy znak na przeciwny, zatem otrzymujemy liczbę – 0,6. Jeśli dodamy te dwie liczby do siebie, to w wyniku otrzymamy zero, 0,6 + (– 0,6) = 0. Tak samo można znaleźć liczby przeciwne dla pierwiastków, na przykład liczbą przeciwną do pierwiastka z trzech jest minus pierwiastek z trzech. Można szybko sprawdzić, że dodając te dwie liczby do siebie, otrzymamy zero, pierwiastek z trzech + ( – pierwiastek z trzech) = 0. Jeśli chcemy znaleźć liczbę przeciwną do liczby 1 – pierwiastek z dwóch, należy przed całe wyrażenie wstawić minus, a następnie pozmieniać znaki w powstałym nawiasie, to znaczy: – (1 – pierwiastek z dwóch) = – 1 + pierwiastek z dwóch. Można sprawdzić, że 1 – pierwiastek z dwóch + ( – 1) + pierwiastek z dwóch = 0. Zatem znaleźliśmy prawidłową liczbę przeciwną do liczby 1 – pierwiastek z dwóch. Ostatnim przykładem jest znalezienie liczby przeciwnej do liczby pi. Jest to nic innego jak liczba – pi. Dodając te dwie liczby do siebie, w wyniku otrzymujemy zero, pi + (– pi) = 0.

Czy istnieje liczba przeciwna do zera?
Tak, istnieje liczba przeciwna do zera i jest nią po prostu zero. Liczba 0 jest niedodatnia i nieujemna, zatem dostawienie znaku plus lub minus przed zerem dalej daje zero.

W jakich zbiorach można szukać liczb przeciwnych?
W zbiorze liczb rzeczywistych, całkowitych, wymiernych oraz zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba do niej przeciwna. Natomiast w zbiorze liczb naturalnych jedynie zero ma liczbę przeciwną, o ile zakładamy, że zero do tego zbioru należy. Liczby całkowite zazwyczaj definiuje się jako liczby naturalne i liczby do nich przeciwne (przy takiej definicji należy założyć, że zero do zbioru liczb naturalnych należy).
Teraz wiesz już wszystko na temat liczb odwrotnych oraz liczb przeciwnych. Po przeczytaniu tego artykułu znalezienie tych liczb nie powinno stanowić dla Ciebie najmniejszego problemu.