Liczby wymierne i niewymierne

Pozbądź się matematycznych wątpliwości!

Podział liczb jest jednym z podstawowych zagadnień w matematyce, sprawiającym jednak często liczne kłopoty. W poniższym artykule skupimy się przede wszystkim na liczbach wymiernych i niewymiernych. Zobaczysz, że już za chwilę nie będziesz miał z nimi żadnego problemu!

Kilka definicji
Zacznijmy od tego, że liczby wymierne i niewymierne razem stanowią najbardziej ogólny zbiór liczb, czyli zbiór liczb rzeczywistych. Zalicza się do nich wszystkie liczby od minus nieskończoności do plus nieskończoności, które jesteśmy w stanie zaznaczyć na osi liczbowej. Oznaczmy je jako R.

Liczby wymierne to, według definicji, wszystkie liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego p/q, gdzie p i q są dowolnymi liczbami całkowitymi, a q ≠ 0 (ponieważ nie można dzielić przez 0). Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem Q. Są to przykładowo liczby: 3 (ponieważ możemy ją zapisać w postaci ułamka zwykłego 3/1); ⅔; -⅘; -13(= -13/1)
Ważne jest, że do zbioru liczb wymiernych zaliczamy także zbiory liczby naturalnych oraz całkowitych.
Liczby naturalne to liczby od 1 do plus nieskończoności, np. 1, 2, 3, 19, 234, 18839… Oznaczamy je N.
Liczby całkowite to natomiast wszystkie liczby naturalne i liczby przeciwne, czyli np. 1, -1, 23, -22, 102, -3. Oznaczamy je C.

Jakie jeszcze liczby zaliczamy do liczb wymiernych?
Do liczb wymiernych zaliczamy także m.in. ułamki dziesiętne, które mają zapis skończony, a także ułamki okresowe. Są to przykładowo:
– 1,25 ( ponieważ możemy ten ułamek dziesiętny zapisać w postaci ułamka zwykłego: 125/100 = 5/4)
– 3,2 = 32/10= 16/5
– 0,(1) = 1/9
Do tego zbioru liczb należy również 0, jak i niektóre pierwiastki, np. √9 (ponieważ √9 = 3, a 3 możemy zapisać jako 3/1).
Ostatecznie w zbiorze liczb wymiernych znajdziemy takie liczby jak:
⅓ – jest liczbą wymierną, ponieważ jest przedstawiona w postaci ułamka zwykłego;
1 ⅓ – również jest liczbą wymierną, bo możemy ją zapisać w postaci ułamka 4/3(niewłaściwego – ale te także zaliczamy do tego zbioru);
1 – też jest liczbą wymierną, bo jest równe np. 1/1; 3/3; 56/56 itd.;
7 – jest liczbą wymierną, bo można ją zapisać jako ułamek np. 7/1;
0 – jest liczbą wymierną, gdyż może znaleźć się w liczniku ułamka zwykłego np. 0/1; 0/9 itd. (Jednak nigdy nie może się znaleźć w jego mianowniku, ponieważ nie dzielimy przez 0);
– ⅔ – liczby ujemne także mogą być liczbami wymiernymi, bo w dalszym ciągu w ich liczniku występuje liczba całkowita;
−3 – z racji tego, że możemy ją zapisać jako – 3/1, jest liczbą wymierną;
0,(1) – to też liczba wymierna, bo to zapis dziesiętny ułamka 1/9;
√25 – ponieważ √25 = 5, a 5 zapiszemy w postaci ułamka zwykłego jako 5/1;
3,75 – jest to ułamek dziesiętny, który możemy inaczej zapisać jako: 3 75/100 = 3 ¾ = 15/4 .

Liczbami wymiernymi natomiast nie mogą być niektóre pierwiastki np. √7, ponieważ nie można go zapisać w postaci ułamka zwykłego składającego się z liczb całkowitych, a także do zbioru liczb wymiernych nie zaliczymy choćby liczby π.

Działania na liczbach wymiernych
Wykonujemy je po pierwsze w stałej, określonej kolejności:
1.działania w nawiasach
2.potęgowanie
3.mnożenie/dzielenie
4.dodawanie/odejmowanie
Mnożąc, dzieląc, dodając, czy odejmując liczby wymierne przez siebie/ do siebie/ od siebie, zawsze otrzymamy liczbę wymierną. Np. √16-√4= 4 – 2 = 2 (=2/1)
√256+ √9 = 16 + 3= 19 (=19/1)
3/4+ 8/4= 11/4
87- 23 = 64 (=64/1)

Liczby niewymierne
Co zaś się tyczy liczb niewymiernych (NW), to są to wszystkie liczby, które nie są liczbami wymiernymi, nie można ich zapisać w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego, za to mają one rozwinięcie nieskończone i nieokresowe. Zalicza się do nich m.in.:
– niektóre pierwiastki, np. – √17= -4.12310562562; √5= 2.2360679775 ; √3 = 1,73205080757…
– liczbę π= 3,14159…
– liczbę e (Eulera) = 2,7182818…
Powyższych liczb nie zapiszemy w postaci ułamka zwykłego, którego licznik byłby liczbą całkowitą, a mianownik różny od zera.

Sprawdź siebie! nr 1
Uporządkuj liczby. Wskaż, które z nich należą do zbioru liczb wymiernych, a które do zbioru liczb niewymiernych. (Odpowiedzi do wszystkich “sprawdź siebie” znajdziesz na końcu artykułu, ale nie ściągaj 😉 ).
a)2 b) -6 c)√22 d)⅔ e) -¼ f) π g) -√5 h) 1,5 i) 67,(2) j) 0

Działania na liczbach niewymiernych
Zastanówmy się teraz, co się stanie w przypadku, kiedy np. dodamy do siebie dwie liczby niewymierne. Czy może stać się ona liczbą całkowitą, wymierną? Zobaczmy to na przykładzie:
x= 7 – √7 i y= √7 – dwie liczby niewymierne
Dodamy teraz do siebie x i y.
x + y= 7 – √7 + √7 = 7 – Z tego wniosek, że po zsumowaniu dwóch liczb niewymiernych możemy uzyskać liczbę całkowitą, wymierną, ale nie zawsze tak się stanie, ponieważ dodając inne dwie liczby niewymierne uzyskamy liczbę niewymierną, np.
x = √11 i y = √13
x + y= √11 + √13
Uzyskaliśmy liczbę niewymierną.
Chcąc z kolei pomnożyć przez siebie dwie liczby niewymierne uzyskamy również liczbę niewymierną lub wymierną.
Np. √2*√3= √6 – liczba niewymierna
√5 * √3= √15 – liczba niewymierna
√ 2 * √128 = √256= 16 = 16/1 – liczba wymierna
Zbiór liczb niewymiernych możemy poddawać wszelkim działaniom: dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu. Oznacza to, że suma, różnica iloczyn i iloraz liczb niewymiernych może być (ale nie musi) wymierny.

Jedne + drugie
Suma liczby wymiernej i niewymiernej jest zawsze liczbą niewymierną, np.: √12 + ½ – liczba niewymierna
9 + √19 – liczba niewymierna

Sprawdź siebie! nr 2
Suma dwóch liczb niewymiernych
A) nie może być liczbą wymierną
B) nie może być liczbą całkowitą
C) jest zawsze liczbą niewymierną
D) może być liczbą całkowitą

Usuwanie niewymierności z liczb
Zdarzają się zadania, kiedy jesteśmy zmuszeni usunąć niewymierność z mianownika. Jak to zrobić? Zerknij do przykładów.
1/√3= 1/√3* √3/√3= √3/3- Aby usunąć niewymierność z mianownika musimy pomnożyć cały ułamek przez pierwiastek z mianownika. Wtedy mnożąc dwa takie same pierwiastki przez siebie uzyskamy w liczniku liczbę wymierną, pierwiastek pojawia się za to w liczniku.
2/√5= 2/√5* √5/√5= 2√5/5

Ciekawostki z historii podziału liczb
Według badaczy liczby niewymierne zostały odkryte w starożytności przez pitagorejczyków, którzy początkowo znali tylko liczby wymierne (mające skończone rozwinięcie). Odkrycie, że niektórych liczb rozwinięcie jest nieskończone (liczby niewymierne), zaburzyło ich znany dotąd porządek świata.
Przyglądając się samej nazwie, tylko w języku polskim liczby te nazywamy wymiernymi i niewymiernymi. W innych językach mówi się na nie liczby racjonalne i nieracjonalne, choćby od angielskiego rational numbers oraz irrational numbers.

Sprawdź siebie! nr 3
W zbiorze {0; 7; √2; √25; 1/7;π ; √2+3 }
A) jest dokładnie 1 liczba wymierna B) są dokładnie 4 liczby wymierne
C) są dokładnie 3 liczby wymierne D) są dokładnie 2 liczby wymierne

Sprawdź siebie! nr 4
Usuń niewymierność z mianownika:
1/√7=
3/√2=

Rozwiązania do “sprawdź siebie!”
nr 1
Liczby wymierne są ukryte pod literami: a, b, d, e, h, i, j
Liczby niewymierne: c, f, g
nr 2
D
nr 3
B
nr 4
1/√7=1/√7*√7/√7= √7/7
3/√2= 3/√2*√2/√2=3√2/2