Rachunek Prawdopodobieństwa

 

Najważniejsze informacje na temat rachunku prawdopodobieństwa

 

Czym zajmuje się rachunek prawdopodobieństwa?
Rachunek prawdopodobieństwa, zwany również probabilistyką zajmuje się obliczaniem szansy (czyli prawdopodobieństwa) wystąpienia jakiegoś zjawiska. Może to być na przykład szansa wypadnięcia orła w rzucie monetą czy wyrzuceniu szóstki w rzucie kostką.

Najważniejsze pojęcia rachunku prawdopodobieństwa:
Doświadczenie losowe jest to czynność, którą wykonujemy (na przykład rzut kostką).
Zdarzenie elementarne – oznacza zdarzenie, jakie może się wydarzyć w doświadczeniu losowym (na przykład wyrzucenie szóstki).
Zdarzenie losowe jest to podzbiór złożony ze zdarzeń elementarnych (na przykład wyrzucenie nieparzystej liczby oczek w rzucie kostką, czyli do tego podzbioru należą 3 zdarzenia elementarne: wyrzucenie jedynki, wyrzucenie trójki, wyrzucenie piątki).
Moc zbioru oznacza liczebność zbioru (na przykład, jeśli do jakiegoś zbioru A należą 4 elementy, to moc tego zbioru wynosi 4).
Omega – tą literą alfabetu greckiego oznaczamy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (na przykład w rzucie kostką będzie to wyrzucenie jedynki, dwójki, trójki, czwórki, piątki, szóstki).

Najważniejsze wzory i własności rachunku prawdopodobieństwa i ich zastosowanie w zadaniach:
Załóżmy, że omega jest przestrzenią zdarzeń elementarnych oraz A, B są zdarzeniami elementarnymi zawartymi w omedze. Wtedy:
Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A jest zawsze liczbą z przedziału <0,1>. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego (na przykład wyrzucenie ósemki przy rzucie tradycyjną kostką) jest równe 0. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do pewnego zdarzenia A jest równe różnicy liczby 1 i prawdopodobieństwa zdarzenia A.
Suma zdarzeń
P(A suma mnogościowa B) = P(A) + P(B) – P(A iloczyn mnogościowy B)

Przykład

Doświadczenie polega na rzuceniu trzema kostkami do gry, przy czym A oznacza zdarzenie polegające na tym, że na każdej kostce liczba wyrzuconych oczek jest większa od 2, natomiast B oznacza zdarzenie, w którym suma oczek na wszystkich kostkach jest podzielna przez 9. Należy obliczyć P(A suma mnogościowa B).
|Omega| = 6 ^ 3 = 216, ponieważ rzucamy 3 kostkami, a na każdej jest 6 możliwości.
|A| = 4 ^ 3 = 64, ponieważ mamy 3 kostki, a na każdej są 4 możliwości (może zostać wyrzucona 3, 4, 5 lub 6).
Zdarzenie B zajdzie tylko wtedy, gdy suma oczek będzie równa 9 lub 18. Jeśli chodzi o 18, to jest tylko jedna możliwość uzyskania takiej sumy, gdy wyrzucimy trzy szóstki, (6,6,6). Z kolei sumę równą 9 można uzyskać, gdy na kostkach mamy: 1, 2, 6 lub 1, 3, 5 lub 2, 3, 4 lub 1, 4, 4. Dla trzech pierwszych wariantów mamy po 6 możliwości uzyskania takich liczb oczek na kostkach (można to policzyć z silni, mamy 3 różne liczby, więc 3!), natomiast dla ostatniego wariantu te możliwości są tylko trzy: (1, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 4, 1). Zatem |B| = 3 * 6 + 3 + 1 = 22.
|A iloczyn mnogościowy B| = 1, ponieważ tylko (6, 6, 6) spełnia warunki zdarzenia A i zdarzenia B.
Zatem P(A) = 64/216, P(B) = 22/216, P(A iloczyn mnogościowy B) = 1/216. Stąd P(A suma mnogościowa B) = 64/216 + 22/216 – 1/216 = 85/216.
Geometryczna definicja prawdopodobieństwa
Tutaj zamiast liczebności zbiorów używamy miary geometrycznej (długość, pole, objętość).

Przykład 1

Mamy przedział na osi [0,4]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt będzie należał do przedziału [0,2]?
|Omega| = |[0,4]| = 4
|A| = |[0,2]| = 2
Zatem P(A) = 2/4 = 1/2

Przykład 2

Pasażer przybywa na przystanek tramwajowy, nie znając godziny i nie wiedząc, kiedy odjechał poprzedni tramwaj. Wie natomiast, że na przystanku zatrzymują się tramwaje dwóch linii, a każdy z nich odjeżdża co 20 minut. Nie wie jednak, jaka jest różnica czasu między odjazdami tramwajów tych dwóch linii. Jest mu obojętne, do której linii wsiądzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pasażer odjedzie w ciągu najbliższych 5 minut?
Wiemy, że oba tramwaje przyjadą w ciągu najbliższych 20 minut, więc możemy narysować kwadrat w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach (0,0), (20,0), (20,20) i (0,20). Współrzędne każdego punktu tego kwadratu będą oznaczały, za ile minut mogą przyjechać tramwaje dwóch linii, na przykład punkt (9,11) oznacza, że tramwaj jednej linii przyjedzie za 9 minut, natomiast tramwaj drugiej linii za 11 minut. Pole takiego kwadratu wynosi 20 ^ 2 = 400. Jeśli chodzi o sytuację, w której tramwaj przyjedzie w ciągu najbliższych 5 minut, to jest to wielokąt o współrzędnych (0,0), (0,20), (5,20), (5,5), (20,5), (20,0). Jego pole wynosi 175. Mając te dwie miary, możemy obliczyć, że szukane prawdopodobieństwa wynosi 175/400 = 7/16.

Prawdopodobieństwo warunkowe
Jeżeli P(A) > 0, to prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia B pod warunkiem zajścia zdarzenia A nazywamy liczbę P(B\A) = P(A iloczyn mnogościowy B)/P(A).

Przykład 1

W urnie jest 8 kul: 4 białe i 4 czarne. Doświadczenie polega na losowym wybraniu 2 kul bez zwracania. Należy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana kula będzie czarna, gdy pierwsza wylosowana kula była biała.
A – pierwsza wylosowana kula jest biała, B – druga wylosowana kula jest czarna, A iloczyn mnogościowy B – pierwsza wylosowana kula jest biała, a druga wylosowana kula jest czarna. Należy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A. Mamy P(A) = 4/8 = 1/2, P(A iloczyn mnogościowy B) = 4/8 * 4/7 = 2/7. Zatem zgodnie ze wzorem P(B\A) = P(A iloczyn mnogościowy B)/P(A) mamy P(B\A) = (2/7)/(1/2) = 4/7.

Przykład 2

Doświadczenie polega na rzucie trzema kostkami. Należy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.
A – na każdej kostce wypadła inna liczba oczek, B – na żadnej kostce nie wypadła szóstka, A iloczyn mnogościowy B – na każdej kostce wypadła inna liczba oczek i nie wypadła ani jedna szóstka. Należy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A. Mamy P(A) = (6 * 5 * 4)/(6 ^ 3), P(A iloczyn mnogościowy B) = (5 * 4 * 3)/(6 ^ 3). Zatem zgodnie ze wzorem P(B\A) = P(A iloczyn mnogościowy B)/P(A) mamy P(B\A) = ((6 * 5 * 4)/(6 ^ 3))/((5 * 4 * 3)/(6 ^ 3)) = 1/2.

Prawdopodobieństwo całkowite

Jeżeli zdarzenia B_1, B_2, … , B_n są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór: P(A) = P(A\B_1) * P(B_1) + P(A\B_2) * P(B_2) + … + P(A\B_n) * P(B_n).

Przykład 1

W urnie mamy 10 kul białych i 7 kul czarnych. Doświadczenie polega na wyciągnięciu jednej kuli bez sprawdzania jej koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wyciągniemy kulę białą?
A – za drugim razem została wyciągnięta kula biała, B_1 – za pierwszym razem została wyciągnięta kula biała, B_2 – za pierwszym razem została wyciągnięta kula czarna. P(B_1) = 10/17 (jest 10 kul białych, a wszystkich kul jest 17), P(A\B_1) = 9/16 (jest to drugie losowanie, a po losowaniu B_1 nie ma już jednej kuli białej, czyli zostało 9 kul białych, a wszystkich zostało 16), P(B_2) = 7/17 (ma zostać wylosowana kula czarna, a kul czarnych jest 7, natomiast wszystkich jest 17), P(A\B_2) = 10/16 (po losowaniu B_2 kul białych jest 10, a wszystkich kul jest 16). Stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy P(A) = P(A\B_1) * P(B_1) + P(A\B_2) * P(B_2) = 9/16 * 10/17 + 10/16 *7/17 = 10/17.

Przykład 2

W sklepie są 3 skrzynie z pomarańczami i 2 skrzynie z cytrynami. W każdej skrzyni z pomarańczami 3% owoców jest popsutych, natomiast w skrzyniach z cytrynami znajduje się 5% zepsutych owoców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany owoc z dowolnej skrzyni będzie zepsuty?
A – wyciągniecie owocu zepsutego, B_1 – losowanie ze skrzyni z pomarańczami, B_2 – losowanie ze skrzyni z cytrynami. P(B_1) = 3/5 (są 3 skrzynie z pomarańczami, a wszystkich skrzyń jest 5), P(A\B_1) = 3/100 (3% owoców zepsutych), P(B_2) = 2/5 (są 2 skrzynie cytrynami, a wszystkich skrzyń jest 5), P(A\B_2) = 5/100 (5% owoców zepsutych). Stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy P(A) = P(A\B_1) * P(B_1) + P(A\B_2) * P(B_2) = 3/100 * 3/5 + 5/100 * 2/5 = 9/500 + 10/500 = 19/500.

Wzór Bayesa

Jeżeli zdarzenia B_1, B_2, … , B_n są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór: P(B_k\A) = (P(A\B_k) * P(B_k))/P(A).

Przykład 1

Na 100 mężczyzn w wieku od 40 do 60 lat, 18 ma nadciśnienie tętnicze, natomiast na 200 kobiet w tym samym wieku 11 ma nadciśnienie tętnicze. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wylosowano osobę, która ma nadciśnienie tętnicze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?
A – wylosowanie osoby z nadciśnieniem tętniczym, B_1 – wylosowanie kobiety, B_2 – wylosowanie mężczyzny. Należy obliczyć prawdopodobieństwo P(B_2\A). Wykorzystując wzór Bayesa otrzymujemy: P(B_2\A) = (P(A\B_2) * P(B_2))/P(A). Do mianownika należy wykorzystać wzór na prawdopodobieństwo całkowite, czyli P(A) = P(A\B_1) * P(B_1) + P(A\B_2) * P(B_2). P(B_1) = P (B_2) = 1/2 (jest tyle samo kobiet i mężczyzn), P(A\B_1) = 11/200, P(A\B_2) = 18/100. Zatem P(A) = 11/200 * 1/2 + 18/100 * 1/2 = 11/400 + 18/200 = 47/400. Korzystając ze wzoru Bayesa otrzymujemy P(B_2\A) = (18/100 * 1/2)/(47/400) = 36/47.

Przykład 2

Pewna metoda wykrywania uszkodzeń daje następujące wyniki: jeśli urządzenie ma defekt, to metoda wykrywa go w 90%, jeśli urządzenie nie ma defektu, to metoda o nim informuje w 1%. W partii jest 3% urządzeń mających defekt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane urządzenie jako uszkodzone, jest rzeczywiście uszkodzone.
A – urządzenie wykryje defekt, B_1 – urządzenie ma defekt, B_2 – urządzenie nie ma defektu. Należy obliczyć prawdopodobieństwo P(B_1\A). Wykorzystując wzór Bayesa otrzymujemy: P(B_1\A) = (P(A\B_1) * P(B_1))/P(A). Do mianownika należy wykorzystać wzór na prawdopodobieństwo całkowite, czyli P(A) = P(A\B_1) * P(B_1) + P(A\B_2) * P(B_2). P(B_1) = 0,03, P(A\B_1) = 0,9, P(B_2) = 0,97, P(A\B_2) = 0,01. Zatem P(A) = 0,9 * 0,03 + 0,01 * 0,97 = 0,0367. Korzystając ze wzoru Bayesa otrzymujemy P(B_2\A) = (0,9 * 0,03)/0,0367 = 270/367.