Średnia ważona

Czym jest średnia ważona, gdzie ją można spotkać i jak ją obliczyć?

Matematyka jest dziedziną, która otacza nas w każdej sytuacji i w każdym miejscu, nawet wtedy, a może zwłaszcza wtedy, kiedy sobie w ogóle z tego nie zdajemy sprawy. Zazwyczaj bywa ona jednak dla nas bardzo skomplikowana i niezrozumiała. Dziedzinę tą nazywamy królową nauk. Czy jednak rzeczywiście nią jest? Matematyka jest naprawdę bardzo ważna i mamy z nią styczności w wielu różnych sytuacjach, jednak wszystkie dziedziny nauki są równie ważne. Warto jednak uczyć się matematyki już od najmłodszych lat swojego życia, ponieważ im wcześniej zaczniemy ją powoli przyswajać, tym łatwiej będzie nam uczyć się jej w późniejszych latach szkolnych. Jako rodzice często uczymy swoje dzieci rozróżniania kolorów, literek, pisania i czytania, ale rzadko kiedy uczymy je w bardzo wczesnych latach życia liczyć. Uważamy, że być może jest to dla nich za trudne bądź nauczą się tego w szkole i nie ma potrzebny uczyć tego w domu. Otóż w szkole jak najbardziej nauczą się tego, aczkolwiek im wcześniej dziecko ma kontakt z matematyką, tym lepiej przyswaja ją potem w następnych latach. Działy w matematyce ułożone są w programie nauczania od tych mniej skomplikowanych do bardziej skomplikowanych, a każdy kolejny wynika z poprzedniego, dlatego też niezwykle ważne jest, by dziecko pojmowało bardzo dobrze obecnie przerabiany materiał i mogło później korzystać z niego. W dzisiejszej edukacji jest tyle sposobów nauczania dzieci matematyki, że możemy przebierać między całą masą metod. Tak jak kiedyś dzieci uczyły się podstawowego na liczydle, tak dzisiaj samo liczydło ma już wiele różnych form. Poza standardową ramką z drucikami i koralikami może występować w bardzo wielu różnych wariantach. Możemy więc nauczać dzieci matematyki, sami za nią niespecjalnie przepadając, a z wykorzystaniem odpowiednich pomocy dydaktycznych. Jednym z najbardziej potrzebnych działów matematycznych, nauczanych w szkole jest średnia ważona. Jest ona, a przynajmniej powinna być ona niezmiernie ważna dla uczniów i każdy z nich powinien umieć dobrze ją obliczyć.

Średnia ważona w szkole
Średnia kojarzy nam się przede wszystkim ze średnią ocen w szkole i rzeczywiście tak powinna nam się kojarzyć. System nauczania w naszym kraju obejmuje stopnie, mające określać w jakiś sposób poziom wiedzy ucznia, na przykład na napisanym przez niego teście czy sprawdzianie. Wszyscy znamy bardzo dobrze ten system oceniania i wiemy, że im wyższy stopień, tym uczeń lepiej napisał daną pracę. Po co jednak są te stopnie? Otóż dzieci otrzymują w szkole oceny, tylko dlatego, by określać za ich pomocą ich pracę cząstkową, na przykład w formie tego wcześniej wspomnianego sprawdzianu, natomiast na koniec roku oblicza się z tych wszystkich ocen średnią ocen ucznia. Średnia ta pozwala nam uzyskać poglądową ocenę pracy ucznia przez cały semestr czy cały rok, ponieważ jest ona składową wszystkich jego poprzednich ocen. Na tej podstawie możemy obliczać nie tylko pracę jednego ucznia, ale również możemy dzięki średniej wyznaczać statystyki szkoły. Można przecież wziąć pod uwagę oceny wszystkich uczniów w klasie, by za ich pomocą obliczyć średnią klasy i porównać ze sobą średnie ocen wszystkich klas. Warto tylko odróżnić średnią arytmetyczną od średniej ważonej. Otóż do niedawna w szkole posługiwano się jedynie średnią arytmetyczną, polegającą na podsumowaniu wszystkich ocen, gdzie każda z nich ważyła tyle samo i miała taką samą wartość jak pozostałe, natomiast od niedawna używa się już średniej ważonej. Średnia ważona różni się od średniej arytmetycznej tym, iż w średniej ważonej każda z ocen ma odpowiednią wagę i może być mocniejsza lub słabsza od ocen pozostałych. Na przykład ocena ze sprawdzianu może mieć wagę 3, a ocena z pracy domowej może mieć wagę 1, gdzie oczywiście ocena ze sprawdzianu w wyższą wagą jest mocniejsza od tej z niższą i bardziej wpływa ona na ogólny wynik średniej.

Jak obliczać średnią ważoną?
Żeby zrozumieć, na czym polega obliczanie średniej ważonej, powinniśmy dobrze wyjaśnić sobie jak obliczyć zwykłą średnią arytmetyczną, ponieważ jest ona nieco mniej skomplikowana, a stanowi podstawę do obliczania średniej ważonej, która się z niej wywodzi. Otóż najlepiej jest zrozumieć średnią arytmetyczną na przykładzie, dlatego też przyjmijmy przykładowo, iż pewien uczeń piątej klasy uzyskał w danym semestrze 8 ocen: 2,5,3,4,4,4,5,3, z czego każda z tych ocen ma taką samą wagę, ponieważ przyjmijmy, iż wszystkie te oceny to oceny z kartkówek, dlatego każda z tych ocen waży tyle samo, mimo iż niektóre są wyższe od innych i na odwrót. Jeśli ten uczeń chciałby obliczyć średnią tych ocen, wystarczyłoby, iż dodałby wszystkie do siebie, a więc 2+5+3+4+4+4+5+3 i tę uzyskaną sumę podzielił przez ilość tych ocen, a więc o 8. Działanie będzie wyglądało następująco: (2+5+3+4+4+4+5+3)/8=3,75. Średnia, którą uzyskał uczeń na koniec semestru ze swoich ocen to dokładnie 3,75, ponieważ wszystkie oceny zostały dodane i podzielone przez ich ilość. Na podstawie tej średniej można byłoby teraz wyznaczyć ocenę na koniec semestru, biorąc pod uwagę progi ocen danej szkoły, jednak zatrzymajmy się na tym momencie i przejdźmy już do obliczania średniej ważonej. W średniej ważonej zmieniają się wagi ocen, dlatego też żeby było najłatwiej to zrozumieć, pozostańmy przy tym samym przykładzie ocen: 2,5,3,4,4,4,5,3, ale zmieńmy sobie wagi poszczególnych ocen. Przypuśćmy iż ocenę 2 uczeń otrzymał za sprawdzian, ocenę 5 za zadanie domowe, oceny 3 i 4 otrzymał za kartkówki, następną ocenę 4 za sprawdzian, jeszcze jedną ocenę 4 za zadanie domowe i następne oceny 5 i 3 otrzymał za kartkówki. Przy czym należy dodać, iż dla przykładu zadania domowe mają wagę 1, kartkówki mają wagę 2, natomiast sprawdziany mają wagę 3. Teraz żeby podejść do liczenia takiej średniej, wystarczy wszystkie oceny pomnożyć o ich wagę, a więc zapis może wyglądać tak: 2*3+5*1+3*2+4*2+4*3+4*1+5*2+3*2 lub można zamiast mnożyć pododawać sobie oceny o różnych wagach, oczywiście wynik będzie taki sam, a to, którą opcję wybierzemy zależy tylko od naszej wygody i od tego, który sposób jest dla nas prostszy. Wtedy zapis będzie wyglądał tak: 2+2+2+5+3+3+4+4+4+4+4+4+5+5+3+3. Wynikiem mnożenia i dodawania będzie oczywiście 57. Następną czynnością, jaką należy zrobić jest zsumowanie poszczególnych wartości wag wszystkich ocen, bez względu na to, o jakiej wartości są same oceny, czyli tak gdybyśmy chcieli za pomocą wag określić za co dana ocena była otrzymana (3 za sprawdzian, 2 za kartkówkę i 1 za zadanie domowe), przy czym zapis będzie wyglądał następująco: 3+1+2+2+3+1+2+2. Wynikiem tej sumy będzie 16. Ostatnią już czynnością prowadzącą nas do wyniku, będzie podzielenie pierwszego wyniku przez drugi, a więc wynik mnożenia (lub dodawania, w zależności, którą opcję liczenia wybraliśmy) ocen, biorąc pod uwagę ich wagi należy podzielić przez wynik dodawania do siebie samych wag. Zapis będzie wyglądał następująco: (2*3+5*1+3*2+4*2+4*3+4*1+5*2+3*2)/3+1+2+2+3+1+2+2 lub (2+2+2+5+3+3+4+4+4+4+4+4+5+5+3+3)/ 3+1+2+2+3+1+2+2, a więc podliczając wszystko zapiszemy to w ten sposób: 57/16, natomiast wynik to: 3,56.

Gdzie jeszcze można spotkać się ze średnią ważoną?
Średnia najsilniej oczywiście ukazuje się w szkole, jeśli chodzi o oceny uczniów, jednakże możemy się z nią spotkać chociażby przy ocenie produktów. Każdy z nas pewnie kojarzy sklepy internetowe, które przy każdym produkcie mają ocenę klientów zapisaną na przykład w formie graficznej za pomocą gwiazdek, serduszek czy innych symboli. To przecież nic innego jak średnia. Przypuśćmy, że dany produkt, dla przykładu balsam do ciała ma 60 opinii klientów, gdzie każda z nich to 5/5, a więc ocena 5, przy czym maksymalna ocena to 5. Wtedy forma graficzna tej średniej, powiedzmy że wyżej wymienionej gwiazdki, będzie w całości w kolorze, co oznacza, iż dany produkt uzyskał maksymalną ocenę wszystkich opiniotwórców. Natomiast kiedy ten sam balsam do ciała miałby na przykład 40 ocen 5, 6 ocen 4 i 4 oceny 3, przy czym dalej maksymalną oceną jest 5, to wtedy należałoby liczyć to w ten sposób: (40*5+6*4+4*3)/40+6+4=(200+24+12)/50=236/50=4,72. Wynikiem tego działania będzie 4,72, co oznacza że nasza graficzna forma w postaci gwiazdeczek będzie miała pokolorowane 4 gwiazdeczki w pełni, a piątą gwiazdkę zabarwioną tylko do pewnego stopnia, który zapisany byłby jako 0,72, byłaby więc zabarwiona trochę nieco połowa gwiazdeczki. Średnia pomaga również w obliczaniu indeksów giełdowych.

Po co właściwie jest nam średnia i jakie jest jej zadanie? Otóż średnia, jak sama nazwa wskazuje, ma uśredniać dane wartości. Za jej pomocą możemy osiągnąć naprawdę bardzo wiele satysfakcjonujących nas informacji, takich jak chociażby to obliczanie średniej ważonej oceny uczniów. Dzięki niej możemy obliczyć kolejno średnią każdego z uczniów, na podstawie tej średniej obliczyć średnią ocen danej klasy, a z kolei na jej podstawie obliczyć średnią ocen uczniów z całej szkoły, która to może tworzyć statystyki, dzięki którym na przykład dyrektor może porównywać oceny uczniów z roku na rok i zauważyć spadek ocen bądź wręcz przeciwnie, jak idą one do góry. To wszystko pozwala uzyskać statystykę, a ona z kolei jest niezmiernie ważnym elementem matematyki, ponieważ pozwala zrozumieć pewne schematy i wyróżnić w nich zależności. Pozostańmy w szkolnych przykładach i weźmy sobie oceny danej klasy tylko i wyłącznie z przedmiotu, jakim jest matematyka. Powiedzmy, iż nauczyciel tego przedmiotu co miesiąc oblicza średnią ocen swoich uczniów, a następnie porównuje ją ze średnią z poprzednich miesięcy i w ten sposób, może na przykład stworzyć wykres, który graficznie wskaże mu, w którym kierunku idą oceny jego uczniów, czy z miesiąca na miesiąc poprawiają się, czy też obniżają. Ta wiedza pozwoli nauczycielowi na dopracowanie swoich technik nauczania, ponieważ jeśli oceny będą iść w dół, może to być dla niego znak, iż tworzy on zbyt trudne testy dla uczniów. Dzięki temu nauczyciel może w następstwie tego zacząć tworzyć nowe testy, nieco prostsze i wtedy uczniowie będą otrzymywali lepsze oceny. Oczywiście niekoniecznie jest to najlepsza metoda, ponieważ ten sam nauczyciel mógłby wziąć pod uwagę inne zależności, być może uczniowie danej klasy coraz bardziej przestają się uczyć lub też jakość nauczania tego nauczyciela nieco spadła, a może po prostu dany materiał staje się dla uczniów coraz trudniejszy. Zależności jest dużo, jednak statystyka ma na celu zauważanie ich i poprawianie jakości.