Twierdzenie Talesa

Wszystko o twierdzeniu Talesa

Matematyka nie każdemu kojarzy się pozytywnie. Kojarzy nam się ona z trudnymi działaniami, które ciężko rozwiązać i z wieloma godzinami trudów, poświęconych na zapisywanie cyferek w zeszycie. W szkole matematyka jest jednym z najmniej lubianych przez uczniów przedmiotów. Można nawet zaryzykować stwierdzenie, iż zdecydowana większość z nas matematyki nie lubi. Dlaczego tak jest? Otóż słuchając opinii uczniów, wychodzi na to, iż matematyka jest po prostu trudna i niepotrzebna. Oczywiście tylko ich zdaniem. Może to jednak wynikać z faktu, iż być może matematyka w obecnej ustawie programowej niekoniecznie jest dobrze dopasowana do poziomu uczniów, możliwe, że to właśnie dlatego sprawia ona dzieciom tyle trudności. Czy jednak rzeczywiście jest się czego obawiać? Oczywiście, że nie. Jak przy większości innych spraw w życiu, najważniejsze jest odpowiednie podejście i nastawienie. Jeśli już od najmłodszych lat będziemy się coraz bardziej zaznajamiać i nawet zaprzyjaźniać z matematyką, a następnie z coraz bardziej skomplikowanymi jej dziedzinami, jednak już od samego początku będziemy do niej przyjaźnie nastawieni, bardzo możliwe, iż będzie nam ona przychodziła z mniejszą trudnością niż naszym rówieśnikom. Warto o tym pamiętać i wpajać to swoim dzieciom, by podchodziły one, ogólnie rzecz biorąc do nauki z otwartością i nie nastawiały się na nią źle, gdyż to zdecydowanie bardzo ułatwi im późniejsze przygotowywanie się do lekcji, sprawdzianów czy egzaminów. Dzieciom w najmłodszych latach życia oczywiście najlepiej jest przedstawiać matematykę, tak jak zresztą podobne dziedziny w formie zabawy, ponieważ dzieci poprzez zabawę uczą się najbardziej. Jest ona idealnym dla nich wprowadzeniem do czekającej na nich w późniejszych latach, bardziej skomplikowanej nauki. Co do matematyki zaś, zdecydowanie warto być na nią otwartym, gdyż mamy z nią do czynienia na co dzień w każdym możliwym miejscu, nawet kiedy nie zdajemy sobie z tego sprawy. Wystarczy pójść do sklepu, spojrzeć na termometr za oknem, czy zmierzyć wymiary szafki. Jednym z trudniejszych działów matematyki może być geometria, z którą wiele osób ma sporo trudności. Wystarczy jednak odpowiednio do niej podejść, a jej zrozumienie wcale nie będzie takie trudne. Jednym z jej podstawowych twierdzeń jest twierdzenie Talesa, które warto bardzo dobrze sobie przyswoić, gdyż może nam bardzo sporo ułatwić.

Czym w ogóle jest twierdzenie?
W języku matematycznym jest to zdanie udowodnione w danej teorii matematycznej. Brzmi to jednak bardzo zawile, można więc spróbować to uprościć. Można powiedzieć, iż twierdzenie jest swego rodzaju założeniem, które zostało po prostu udowodnione. Twierdzenia zawsze występują w formie zdań, które łączy relacja implikacji.

Skoro to twierdzenie Talesa, to kim był ten Tales?
Tales, a dokładniej Tales z Miletu żył na przełomie VII i VI wieku przed naszą erą w Grecji i był filozofem, czyli uczonym. Jednocześnie w sferę jego zainteresowań wchodziła matematyka. Jeśli chodzi o tę dziedzinę nauki, Tales zbudował podstawy geometrii, prowadząc szeroko pojęte badania matematyczne. To właśnie on powiedział między innymi, iż średnica jest odcinkiem dzielącym okrąg na połowy, a dwie linie przecinające się tworzą równe kąty przeciwległe, czy też nazwał trójkąt określonym, jeśli dana jest jego podstawy oraz kąty zaraz przy niej. Najważniejsze jest jednak jego twierdzenie, nazywane właśnie twierdzeniem Talesa. Co ciekawe, nie znał on jednak dowodu tego twierdzenia. Tales jest również bardzo znany pod względem wielu myśli filozoficznych, które powtarzane są do dziś. Poza filozofią i matematyką Tales był także obecny w sferze politycznej. Był on bardzo aktywny politycznie, doradzał i namawiał społeczeństwo do różnych politycznych przedsięwzięć. Co ciekawe, nie przypisuje się Talesowi żadnych zachowanych pism, które sam miałby stworzyć. Nie wiadomo jednak, czy nie ma takich pism ze względu na to, iż nie pisał on w ogóle i po prostu nie miało co się zachować, czy też takowe pisma istniały, aczkolwiek z jakichś powodów nie zachowały się, ani też nikt inny w swoich dziełach o nich nie wspomniał. Niektórzy przypisują mu co prawda niektóre tytuły, jednakże poddaje się to w wielką wątpliwość, czy to rzeczywiście Tales był ich autorem.

Co to jest geometria?
Wiemy już, czym jest twierdzenie oraz kim był Tales. Wypadałoby w końcu złożyć te pojęcia razem i wyjaśnić dokładnie, na czym polega to twierdzenie. Zanim do tego przejdziemy, warto najpierw wspomnieć, iż twierdzenie to jest jednym z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej. Przy okazji też oczywiście również i to pojęcie można rozbić na dwie części i każdą z nich wytłumaczyć. Otóż geometria euklidesowa to klasyczna odmiana geometrii, której początek dał Euklides. Zaczynając od początku, warto przypomnieć sobie, czym w ogóle jest geometria. Otóż geometria jest działem matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych, co jest dość zrozumiałe. Figura geometryczna jest zaś dowolnym zbiorem punktów przestrzeni euklidesowej. Znów pojawia się do samo sformułowanie, co ono oznacza? Otóż pochodzi oczywiście ono od imienia Euklidesa z Aleksandrii, który był greckim matematykiem i zebrał całą wiedzę matematyczną, przedstawiając ją w swoim dziele „Elementy”. Można więc powiedzieć, iż był on ojcem dziedziny geometrii, ponieważ dał on jej podstawy. Geometria euklidesowa zawiera różne twierdzenia, które wynikają z aksjomatów, czyli zdań prawdziwych już z samego założenia.

Twierdzenie Talesa
Mając już podstawową wiedzę dotyczącą matematyki, geometrii, Euklidesa i Talesa możemy w końcu przejść do najważniejszego, a więc do twierdzenia Talesa. Wydaje się ono z początku pozornie bardzo trudne do zrozumienia, jednak tak jak już wcześniej zostało wspomniane, podobnie z resztą jak przy innych dziedzinach, najważniejsze jest, by nastawić się odpowiednio przyjaźnie i otwarcie na zrozumienie danych treści, a z pewnością samo to nastawienie bardzo ułatwi nasze pojmowanie, nawet z pozoru, tak trudnych treści. Twierdzenie Talesa brzmi następująco: „Jeżeli dany jest kąt, którego ramiona są przecięte prostymi równoległymi, to odcinki powstałe w wyniku przecięcia tych prostych na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków z drugiego ramienia kąta”. Co to oznacza w prostszym i bardziej przystępnym języku? Twierdzenia mają to do siebie, iż są bardzo dosłowne, więc ciężko nawet mówić tutaj o bardziej przystępnym języku, natomiast można to twierdzenie przedstawić w sposób bardziej sprzyjający wizualizacji. Wyobraźmy sobie więc dwie przecięte ze sobą linie, które tworzą swego rodzaju kąt w miejscu ich przecięcia. Następnie te dwie linie, czyli ramiona powstałego kąta przetnijmy oczami wyobraźni dwoma kolejnymi liniami, jednak tym razem równoległymi względem siebie. Warunkiem jest jednak, by te linie nie przechodziły o wierzchołek kąta, a przecinały jedynie jego ramiona. Jeśli mamy już tę sytuację zwizualizowaną, wystarczy teraz tylko zrozumieć, iż odcinki, które zostały wyznaczone poprzez dwie, równoległe do siebie linie na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odcinków wyznaczonych przez te same dwie równoległe względem siebie linie na drugim ramieniu kąta. Co w zapisie daje nam wzór x/y=z/k, jeśli przyjmiemy takie oznaczenia jak x oraz y dla odcinków wyznaczonych przez wierzchołek kąta i punkty przecięć ramion kąta z pierwszą linią równoległą względem drugiej (pierwszą patrząc od strony kąta), a także oznaczenia z oraz k dla odcinków wyznaczonych przez punkty przecięć ramion kąta z pierwszą linią równoległą względem drugiej i punkty przecięć ramion kąta z drugą linią równoległą względem pierwszej (dalej patrząc od strony wierzchołka kąta). Drugi przypadek, w którym można mówić o twierdzeniu Talesa, zachodzi w momencie, kiedy mamy do czynienia z kątami wierzchołkowymi. Są pary kątów o wspólnym wierzchołku. Znów spróbujmy to sobie zwizualizować. Mamy teraz podobną sytuację jak na początku, a więc zaczynamy od kąta, czyli dwóch linii przecinających się ze sobą, które tym samym tworzą swego rodzaju kąt. Różnica jest jednak taka, iż wcześniej w chwili przecięcia się tych linii mówiliśmy o jednym kącie, natomiast teraz mówimy już o dwóch kątach, które w wyniku tego przecięcia powstały, które również mają wspólny wierzchołek i są względem siebie ustawione symetrycznie. Każdy z tych kątów przecięty jest jedną linią, symetrycznie do drugiego, a więc linie te są w dokładnie takiej samej odległości od wierzchołka w przypadku obu kątów. Żeby było łatwiej, w tym przykładzie przyjmijmy oznaczenia prostych przecinających ramiona kątów jako prosta a oraz prosta b. Stosunek wyznaczonych odcinków możemy więc określić jako x/y=z/k, a więc odcinki wyznaczone od wierzchołka kąta do prostej a oznaczone jako odcinek x i odcinek y są proporcjonalne do odcinków z i k, wyznaczonych od wierzchołka kąta do prostej b. Istnieje jeszcze coś takiego, co nazywamy twierdzeniem odwrotnym. Mamy wtedy dokładnie taką samą sytuację, jaką omawialiśmy w przykładzie pierwszym, dotyczącym jednego kąta z dwiema równoległymi względem siebie liniami. Nie zmienia się więc sytuacja, a zmienia się pytanie, które zadajemy. Potrzebujemy bowiem uzyskać odpowiedź, czy te proste rzeczywiście są względem siebie równoległe.

Dowód twierdzenia
Jak wcześniej wspomniano, Tales nie do końca znał dowód tego twierdzenia, dlatego chcąc je udowodnić, powinniśmy sięgnąć do powyżej już wymienionego dzieła „Elementy” autorstwa znanego nam już Euklidesa. Euklides dowodzi to na dwa sposoby. Po pierwsze, jeżeli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest dokładnie równy stosunkowi długości ich podstaw. Po drugie, jeżeli dwa trójkąty mają podstawę i równe wysokości, to ich pola także są równe.

Kiedy poznajemy twierdzenie Talesa, z początku może wydawać nam się trudne i skomplikowane, podobnie jak inne działy matematyki. Można sobie jednak w pewien sposób, a nawet na wiele sposobów pomóc w wytłumaczeniu tego twierdzenia. Każdy z nas może sobie wymyślić własną metodę, która pozwoli mu zapamiętać i zrozumieć to twierdzenie, jednakże istnieje już jedna bardzo przyjemna metoda, bardzo tę sprawę ułatwiająca. Chodzi tu o metodę krokodylka. Metoda ta sugeruje wyobrażenie sobie otwartej paszczy krokodyla osadzonej na kącie. Kiedy wyobrazimy sobie, jak ta paszcza krokodyla zamyka się, łatwo pojmiemy, iż odcinki, które ją tworzą, połączą się ze sobą i tym samym będą tej samej długości. Równie dobrze możemy także wyobrazić sobie taką paszczę, pokazując jednocześnie ręką, w jaki sposób się zamyka (dokładnie tak samo, jak pokazujemy gest mówienia, a więc łączymy wszystkie palce z wyjątkiem kciuka, kciuk kierujemy w dół i wykonujemy gest łączący kciuk z resztą palców). Ta metoda, będąca albo osobną metodą, albo imitacją metody paszczy krokodyla również bardzo dobrze pomaga wyobrazić sobie istniejące proporcje w kątach.