Wielomiany – Dzielenie, Rozkład na Czynniki i Inne Operacje

Spis treści – Przewodnik po wielomianach

Co to jest wielomian?

Wielomian to wyrażenie algebraiczne, które jest sumą jednomianów. Każdy jednomian to iloczyn liczby (nazywanej współczynnikiem) oraz zmiennej podniesionej do pewnej potęgi. Na przykład 2x3 + 3x2 – x + 5 to wielomian trzeciego stopnia.

Definicja wielomianu

Wielomianem nazywamy funkcję W(x), którą możemy zapisać w postaci: W(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, gdzie an, an-1, …, a0 są współczynnikami wielomianu, a n jest stopniem wielomianu.

Przykłady wielomianów

  • W(x) = 4x3 + 3x2 – 2x + 1 – wielomian trzeciego stopnia
  • P(x) = x2 – 4 – wielomian drugiego stopnia
  • Q(x) = 2x – 5 – wielomian pierwszego stopnia

Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na sumowaniu lub odejmowaniu odpowiednich jednomianów. Przykładowo:

  • Dodawanie: (2x2 + 3x + 1) + (x2 – x + 4) = 3x2 + 2x + 5
  • Odejmowanie: (2x2 + 3x + 1) – (x2 – x + 4) = x2 + 4x – 3

Mnożenie wielomianów

Mnożenie wielomianów polega na przemnożeniu każdego jednomianu z pierwszego wielomianu przez każdy jednomian z drugiego wielomianu, a następnie na zsumowaniu wyników. Przykład:

(x + 2)(x – 3) = x2 – 3x + 2x – 6 = x2 – x – 6

Krok po kroku – Mnożenie wielomianów

  1. Rozpisz oba wielomiany w nawiasach. Na przykład, dla (x + 2)(x – 3).
  2. Przemnóż każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego nawiasu:
    • x * x = x2
    • x * (-3) = -3x
    • 2 * x = 2x
    • 2 * (-3) = -6
  3. Zsumuj wszystkie iloczyny: x2 – 3x + 2x – 6.
  4. Połącz wyrazy podobne: x2 – x – 6.

Przykłady mnożenia wielomianów

  • (2x + 3)(x – 4) = 2x2 – 8x + 3x – 12 = 2x2 – 5x – 12
  • (x2 + 2x + 1)(x + 1) = x3 + 2x2 + x + x2 + 2x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1

Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów można przeprowadzić na kilka sposobów. Jednym z nich jest metoda dzielenia pisemnego, która przypomina dzielenie pisemne liczb. Inna metoda to zastosowanie schematu Hornera.

Krok po kroku – Dzielenie wielomianów

Przykład: Podzielmy wielomian W(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 przez dwumian (x – 2):

  1. Wypisz współczynniki wielomianu: 1, -6, 11, -6.
  2. Rozpocznij schemat Hornera, wpisując dzielnik w lewej kolumnie:
            2 |  1   -6   11  -6
              |       2   -8   6
              -----------------
                1   -4    3   0
            
  3. Zapisz wynik dzielenia: x2 – 4x + 3. Reszta wynosi 0.

Przykłady dzielenia wielomianów

Przykład 1:

Podzielmy wielomian W(x) = x4 + 2x3 – x2 + 3x – 5 przez (x – 1):

 1 |  1   2   -1   3   -5
   |      1    3   2    5
   ---------------------
     1   3    2   5    0

Wynik: x3 + 3x2 + 2x + 5, reszta 0

Rozkład wielomianów na czynniki

Rozkładanie wielomianów na czynniki polega na znalezieniu takich wielomianów, które po przemnożeniu dadzą wyjściowy wielomian. Przykład:

x2 – 5x + 6 można rozłożyć na (x – 2)(x – 3).

Krok po kroku – Rozkładanie wielomianów na czynniki

  1. Najpierw szukamy pierwiastków wielomianu. Dla wielomianu x2 – 5x + 6 są to x = 2 i x = 3.
  2. Używamy znalezionych pierwiastków do zapisania wielomianu w postaci iloczynowej: (x – 2)(x – 3).
  3. Sprawdzamy poprawność rozkładu, mnożąc czynniki: (x – 2)(x – 3) = x2 – 3x – 2x + 6 = x2 – 5x + 6.

Przykłady rozkładu na czynniki

  • x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
  • 2x2 – 8x = 2x(x – 4)
  • x3 – 3x2 – 4x + 12 = (x2 – 4)(x – 3) = (x – 2)(x + 2)(x – 3)

Równania i nierówności wielomianowe

Równania wielomianowe to równania, w których jedna strona jest wielomianem. Nierówności wielomianowe to nierówności, w których jedna strona jest wielomianem. Przykłady:

  • Równanie: x2 – 5x + 6 = 0
  • Nierówność: x2 – 5x + 6 > 0

Przykłady równań i nierówności wielomianowych

  • Równanie: 2x2 – 4x = 0
  • Rozwiązanie: 2x(x – 2) = 0, więc x = 0 lub x = 2
  • Nierówność: x3 – x < 0
  • Rozwiązanie: x(x2 – 1) < 0, więc x(x – 1)(x + 1) < 0

Wykresy funkcji wielomianowych

Wykresy funkcji wielomianowych to graficzne przedstawienia wartości wielomianu dla różnych wartości zmiennej. Każdy wielomian stopnia n ma n – 1 ekstremów i n miejsc zerowych (pierwiastków). Przykład:

Wykres funkcji y = x3 – 6x2 + 11x – 6:

Rysowanie funkcji wielomianowej

Rysowanie funkcji wielomianowej wymaga znalezienia miejsc zerowych, punktów ekstremalnych i wartości dla wybranych punktów. Możemy skorzystać z kalkulatorów internetowych lub programów do rysowania wykresów.

Przykłady wykresów funkcji wielomianowych

Przykład 1:

Funkcja: y = x2 – 4

Miejsca zerowe: x = -2, x = 2

Wykres: Parabola otwarta w górę, przecięcie osi Y w punkcie (0, -4)

Przykład 2:

Funkcja: y = x3 – 3x2 + 2x

Miejsca zerowe: x = 0, x = 1, x = 2

Wykres: S-kształtny, przecięcie osi Y w punkcie (0, 0)

Pomoce dla uczniów

Oto kilka narzędzi i wskazówek, które mogą pomóc w nauce wielomianów:

  • Używaj papieru milimetrowego do rysowania dokładnych wykresów
  • Ćwicz rozwiązywanie równań i nierówności wielomianowych, aby lepiej zrozumieć ich zachowanie

Podsumowując, wielomiany są podstawowymi elementami w algebrze i matematyce. Poznanie operacji na wielomianach, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i rozkład na czynniki, jest kluczowe dla rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych oraz dla analizy funkcji wielomianowych.

Comments

Cancel Reply