Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia
Matematyka – dlaczego nazywamy ją ‘królową nauk’ i dlaczego warto się jej uczyć?
Matematyka jest dziedziną wiedzy, którą zgłębiamy od najmłodszych lat. Mimo iż tak wiele osób ma z nią wiele problemów warto się jej uczyć. A to dlaczego? Matematyka może przynieść bardzo wiele korzyści. Przede wszystkim zgłębiając jej tajniki możemy nauczyć się logicznego myślenia, prawidłowego wyciągania wniosków, a nawet może mieć bardzo pozytywny wpływ przy nauce języków obcych i innych przedmiotów humanistycznych. Dzięki matematyce uczymy się rozwiązywać problemy i utrzymujemy świeży sprawny umysł w świetnej kondycji. Po za tym nie bez znaczenia pozostaje również fakt, że nauka matematyki może bezpośrednio przełożyć się nie tylko na o wiele lepsze oceny w szkole, świetne wyniki na egzaminie maturalnym, ale także i mieć przełożenie na dostanie się na wymarzony kierunek studiów i znalezienie w przyszłości dobrze płatnej pracy.
Wielu uczniów zastanawia się do czego matematyka może się przydać w przyszłości i w przyszłej pracy? Oprócz wyżej wymienianych korzyści, które niesie ze sobą zdobywanie wiedzy na temat ułamków, pierwiastków, geometrii itp., z matematyką spotykamy się niemal nieustannie każdego dnia. Wszędzie mamy do czynienia z liczbami, czy to na zakupach, czy to przy odmierzeniu i dobraniu odpowiednich składników wg przepisu, sprawdzaniu godziny na zegarku, przy pracach remontowych, przy ustalaniu domowego budżetu czy też nawet przy wyznaczaniu prawdopodobieństwa wygranej w grach. Liczby otaczają nas z każdej strony.
W jaki sposób nauka matematyki może stać się przyjemną zabawą?
Matematyka, jak każdy pewnie wie, nie należy do najłatwiejszych przedmiotów i nauka jej wymaga wiele samozaparcia, a przede wszystkim zrozumienia. Jeżeli uda nam się z początku zrozumieć mechanizmy nią rządzące to z pewnością będzie nam o wiele łatwiej w życiu, ponieważ bez znajomości matematyki niemożliwe jest funkcjonowanie w społeczeństwie. To właśnie liczby, działania, geometria i algebra pozwala nam bez problemu zarządzać pieniędzmi, określić godzinę, wziąć/spłacić kredyt i poradzić sobie z wieloma innymi rzeczami z którymi spotykamy się na co dzień.
Istnieje wiele sposobów na skuteczną i w dodatku przyjemną naukę matematyki. Oto kilka z nich:
-) Gry logiczne, gry strategiczne i matematyczne to świetny sposób, żeby odpocząć od nudnego wkuwania teorii i spędzania długich godzin nad podręcznikami i żmudnym rozwiązywaniem zadań. Istnieje bardzo wiele różnorodnych aplikacji na telefon, komputer czy tablet, gdzie można pograć w wiele ciekawych gier. Bardzo dobrym pomysłem jest także rozwiązywanie sudoku. Dobrego myślenia strategicznego i logicznego uczy gra w monopoly czy eurobiznes.
-) Oglądaj filmiki na you tube podczas rozwiązywania zadań. Na serwisie you tube oprócz materiałów rozrywkowych i muzyki możemy znaleźć także bardzo wiele przydatnych i ciekawych materiałów do nauki. Istnieje szereg kanałów poświęconych rozwiązywaniu zagwozdek matematycznych i tłumaczących skomplikowane niuanse w łatwy i przystępny sposób. Znajdziemy również na nich ciekawe zagadki matematyczne i łamigłówki. Jednymi z kanałów wartych polecenia są z pewnością: Matemaks, Tomasz Gwiazda oraz Mateusz Kowalski.
-) Analizuj przykład i ucz się na nich. To naprawdę bardzo dobry sposób nauki. Dzięki dokładnemu analizowaniu przykładów jesteś w stanie zrozumieć i nauczyć się ogólnego schematu postępowania przy rozwiązywaniu kolejnych zadań.
-) Jednym z najlepszych, choć i z pewnością najbardziej żmudnych sposobów jest uparte i systematyczne rozwiązywanie dużej ilości zadań. „Trening czyni mistrza”. Być może jest to dość nudne i wymaga olbrzymich pokładów samozaparcia to jednak przynosi w późniejszym okresie wiele korzyści i benefitów. Ćwiczenia jednak dają naprawdę ponadprzeciętne efekty. Regularne powracanie do rozwiązanych już zadań i liczenie ich na nowo może pomóc nie tylko w utrwaleniu znanej już metody, ale także przygotować solidny fundament do nauki nowych znacznie trudniejszych zagadnień z dziedziny matematyki.
-) Nie można zapominać także o tym, żeby zadawać dużo pytań, jeżeli czegoś się nie rozumie. Bardzo często patrzymy na tablicę, widzimy skomplikowane równania z których nic nie rozumiemy a w głowie mamy zupełną pustkę. Matematyka zdaje się nam wtedy czarną magią, a zadanie nie do rozwiązania. To jednak nic złego nie pojmować trudnego dla nas działu. Dla tego też pamiętajmy, że warto pytać o pomoc nauczycieli, wykładowców, kolegów, którzy lepiej od nas rozumieją schematy działań.
-) Wielu z nas nie potrafi samodzielnie skoncentrować się na danym materialne naukowym i potrzebuje mentora, nauczyciela, który wraz z nim będzie powoli zagłębiał się w dane zagadnienia i na bieżąco je tłumaczył i korygował ewentualne błędy. Niektórzy z nas uczą się wolniej a niektórzy szybciej, natomiast nauczyciel podczas 45 minutowych zajęć nie jest w stanie poświęcić każdemu z uczniów wystarczającej ilości indywidualnego czasu. Korepetycje indywidualne czy też grupowe mogą przynieść dość spore korzyści. Natomiast jeżeli nie stać nas na opłacenie korepetytora warto pomyśleć nad stworzeniem grupy do nauki. Razem mierzyć się z trudnym dla nas przedmiotem jest o wiele raźniej.
Czym są wzory skróconego mnożenia i jakie mają zastosowanie?
Wzory skróconego mnożenia, mimo iż wyglądają nieco przerażająco dla osób, dla których matematyka to prawdziwy koszmar nie są wcale aż tak straszne, jak się wydają. Są one bardzo ważne i mają bardzo wiele zastosowań. Wzory matematyczne sprawdzają się m.in. przy mnożeniu i potęgowaniu wyrażeń algebraicznych, przy znajdowaniu pierwiastków, próbie rozwiązaniu równań. Wykorzystywane są bardzo często i ich znajomość wymagana jest na maturze, a także na dalszych etapach kształcenia związanego z matematyką. Nie ma obowiązku przy obliczeniach stosowania wzorów skróconego mnożenia, jednakże znacznie ułatwiają i przyśpieszają proces obliczeń.
Najważniejsze wzory skróconego mnożenia:
1. Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.
(a + b)^2 = (a)^2 + 2ab + (b)^2
Przykład zastosowania powyższego wzoru.
(4x + 3y)^2 = (4x)^2 + 2 * 4x * 3y + 3y^2 = (16x)^2 + 24xy + (9y)^2
(15x + 5)^2 = (15x)^2 + 2 * 15x * 5 + 5^2 = (225x)^2 + 150x + 25
(6x + 0,75)^2 = (6x)^2 + 2 * 6x * 0,75 + 0,75^2 = (36x)^2 + 9x + 0,56
(12x + 100y)^2 = (12x)^2 + 2 * 12x * 100y = (144)x2 + 2400xy + (1000y)^2
(2x + 5y)^2 = (2x)^2 + 2 * 2x * 5y + (5y)^2 = (4x)^2 + 20xy + (25y)^2
(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 * 2x * 1 + 1^2 = (4x)^2 + 4x + 1
Zamiast zastosowania wzoru skróconego mnożenia możemy również policzyć wszystko w taki sposób:
(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = (a)^2 + ab + ab + (b)^2 = (a)^2 + 2ab + (b)^2
Wzór na kwadrat sumy można rozszerzyć o trzeci dodatkowy składnik. W tym wypadku otrzymujemy następujący wzór:
– (a + b + c)^2 = (a)^2 + (b)^2 + (c)^2 + 2ab + 2ac + 2bc
2. Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.
(a – b)^2 = (a)^2 – 2ab + (b)^2
Przykład zastosowania powyższego wzoru.
(4x – 3y)^2 = (4x)^2 – 2 * 4x * 3y + 3y^2 = (16x)^2 – 24xy + (9y)^2
(15x – 5)^2 = (15x)^2 – 2 * 15x * 5 + 5^2 = (225x)^2 – 150x + 25
(6x – 0,75)^2 = (6x)^2 – 2 * 6x * 0,75 + 0,75^2 = (36x)^2 – 9x + 0,56
(12x – 100y)^2 = (12x)^2 – 2 * 12x * 100y = (144)x2 – 2400xy + (1000y)^2
(2x – 5y)^2 = (2x)^2 – 2 * 2x * 5y + (5y)^2 = (4x)^2 – 20xy + (25y)^2
(2x – 1)^2 = (2x)^2 – 2 * 2x * 1 + 1^2 = (4x)^2 – 4x + 1
Zamiast zastosowania wzoru skróconego mnożenia możemy również policzyć wszystko w taki sposób:
(a – b)^2 = (a – b)(a – b) = (a)^2 – ab – ab + (b)^2 = (a)^2 – 2ab + (b)^2
3. Różnica kwadratów dwóch wyrażeń.
(a)^2 – (b)^2 = (a – b)(a + b)
Przykład zastosowania powyższego wzoru.
16x – 25y = (4x)^2 – (5y)^2 = (4x – 5y)(4x + 5y)
81x – 225y = (9x)^2 – (15y)^2 = (9x – 15y)(9x + 15y)
9409x – 144y = (97x)^2 – (12y)^2 = (97x – 12y)(97x + 12y)
49x – 0,25y = (7x)^2 – (0,5y)^2 = (7x – 0,5y)(7x + 0,5y)
25x – 49y = (5x)^2 – (7y)^2 = (5x – 7y)(5x + 7y)
x^2 – 4y = x^2 – (2y)^2 = (x + 2y)(x – 2y)
4. Wzór na sześcian sumy dwóch wyrażeń.
(a + b)^3 = (a + b)^2 (a + b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Przykład zastosowania powyższego wzoru.
(x + 1)^3 = x^3 + (3x)^2 + 3x + 1
(x+5)^3 = x^3 + (15x)^2 + 75x + 125
(2x + 5)^3 = (8x)^3 + (60x)^2 + 150x + 125
(3 + x)^3 = 27 + 27x + (9x)^2 + x^3
(x + 2)^3 = x^3 + (6x)^2 + 12x + 8
Zamiast zastosowania wzoru skróconego mnożenia możemy również policzyć wszystko w taki sposób:
(a + b)^3 = (a + b)^2 (a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + a^2b + 2a^2 + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
5. Wzór na sześcian różnicy dwóch wyrażeń.
( a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3
Przykład zastosowania powyższego wzoru.
(x – 1)^3 = x^3 – (3x)^2 + 3x – 1
(x – 5)^3 = x^3 – (15x)^2 + 75x – 125
(2x – 5)^3 = (8x)^3 – (60x)^2 + 150x – 125
(3 – x)^3 = 27 – 27x + (9x)^2 – x^3
(x – 2)^3 = x^3 – (6x)^2 + 12x – 8
Zamiast zastosowania wzoru skróconego mnożenia możemy również policzyć wszystko w taki sposób:
(a – b)^3 = (a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)^2 (a – b) = (a^2 – 2ab + b^2)(a – b) = a^3 – a^2 – 2a^2b + 2ab + b^2 – b^3 = a^3 – 3a^2 + 3ab^2 – b^3
6. Wzór na sumę sześcianów dwóch wyrażeń.
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)
Przykład zastosowania powyższego wzoru.
x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 – 3x + 9)
x^3 + 125 = x^3 + 5^3 = (x + 5)(x^2 – 5x + 25)
x^3 + 64 = (x + 4)(x^2 – 4x + 16)
x^3 + 5^3 = (x + 5)(x^2 – 5x + 25)
x^3 + 125 = x^3 + 5^3 = (x + 5)(x^2 – 5x + 25)
7. Wzór na różnicę sześcianów dwóch wyrażeń.
a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)
Przykłady zastosowania powyższego wzoru.
x^3 – 125 = x^3 – 5^3 = (x – 5)(x^2 + 5x + 25)
x^3 – 5^3 = (x – 5)(x^2 + 5x + 25)
x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x − 2)(x^2 + 2x + 4)
x^3 – 64 = (x – 4)(x^2 + 4x + 16)
Zamiast zastosowania wzoru skróconego mnożenia możemy również policzyć wszystko w taki sposób:
a^3 – b^3 = a^3 + a^2b + ab^2 – a^2b – ab^2 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)
Kilka zadań na przećwiczenie wzorów skróconego mnożenia.
a) (x – 3)^2
b) (4x – 9y)(4x + 9y)
c) (27x)^3 + 729
d) (12x + 100y)^2
e) (2x + 81)^3
f) (2x)^3 – (4y)^3
g) (49x – y)^3
h) (x + 4)^2 + 4(y – 6)^2
i) (x + 5)^3
j) 5(3 – 5x) – 5(3x – 3(4x +4)
k) (3x + y)(9x^2 – 3xy + y^2)
l) (3x + 144y)^2
m) (4x)^2 + 8xy + (4y)^2
n) x^3 – 8
o) x^2 + (16y)^2 – z^2 + 81xy
p) x^3 – 27
q) (2xy + 1)(4x^2y^2 – 2xy + 1)