Funkcja liniowa

Kluczowe elementy i zastosowania funkcji liniowych

Funkcja liniowa jest popularna w ekonomii. Jest atrakcyjna, ponieważ jest prostym i łatwym sposobem w obsłudze matematycznej. Ma wiele ważnych zastosowań. Funkcja liniowa to równanie algebraiczne, w którym każdy składnik jest albo stałą, albo iloczynem stałej i (pierwszej potęgi) pojedynczej zmiennej. Na przykład, wspólne równanie, y = mx + b (a mianowicie postać kierunkowa-przecięcia, o której dowiemy się więcej później) jest funkcją liniową, ponieważ spełnia oba kryteria, w których x i y są zmiennymi, a m i b są stałymi . Jest liniowa: wykładnik wyrażenia x jest jedynką (pierwsza potęga) i wynika z definicji funkcji: na każde wejście (x) przypada dokładnie jedno wyjście (y). Również jego wykres jest linią prostą.
Funkcja liniowa wzory zapisuje przede wszystkim opierają się na postaci: y = f (x) = a + bx.

Pamietaj!
-Wykres funkcji liniowej jest linią prostą, ale linia pionowa nie jest wykresem funkcji.
-Wszystkie funkcje liniowe są zapisywane jako równania i charakteryzowane przez ich nachylenie i y

Kluczowe terminy:
-relacja: zbiór uporządkowanych par.
-zmienna: symbol, który reprezentuje wielkość w wyrażeniu matematycznym, używanym w wielu naukach.
-funkcja liniowa: równanie algebraiczne, w którym każdy składnik jest albo stałą, albo iloczynem stałej i (pierwszej potęgi) pojedynczej zmiennej.
-funkcja: relacja między zbiorem wejść a zbiorem dopuszczalnych wyjść z właściwością, że każde wejście jest powiązane z dokładnie jednym wyjściem.

Pochodzenie nazwy „liniowy” bierze się stąd, że zbiór rozwiązań takiego równania tworzy prostą w płaszczyźnie. Np. na wykresach funkcji liniowych stała m określa nachylenie lub gradient tej linii, a człon stały b określa punkt, w którym linia przecina oś y, inaczej nazywany punktem przecięcia z osią y.

Linie pionowe i poziome
Linie pionowe mają nieokreślone nachylenie i nie można ich przedstawić w postaci y = mx + b, ale zamiast tego jako równanie postaci x = c dla stałej c, ponieważ linia pionowa przecina wartość na osi x, c. Na przykład wykres równania x = 4 zawiera tę samą wartość wejściową 4 dla wszystkich punktów na linii, ale miałby różne wartości wyjściowe, takie jak (4, −2), (4,0), (4, 1), (4,5) etcetera. Linie pionowe NIE są jednak funkcjami, ponieważ każde wejście jest powiązane z więcej niż jednym wyjściem.

Poziome linie mają zerowe nachylenie i są reprezentowane przez postać y = b
gdzie b jest punktem przecięcia z osią y. Wykres równania y = 6 zawiera tę samą wartość wyjściową 6 dla wszystkich wartości wejściowych w linii, takich jak (−2,6), (0,6), (2,6), (6,6), etcetera. Linie poziome SĄ funkcjonują, ponieważ relacja (zbiór punktów) ma tę właściwość, że każde wejście jest powiązane z dokładnie jednym wyjściem.

Nachylenie
W matematyce nachylenie prostej to liczba opisująca zarówno kierunek, jak i nachylenie prostej. Nachylenie jest często oznaczane literą m. Przypomnij sobie postać linii przecięcia z krzywą, y = mx + b. Umieszczenie równania prostej w tej postaci daje nachylenie (m) prostej i jej punkt przecięcia z osią y (b). Omówimy teraz interpretację m i sposób obliczenia m dla danej linii.

Kierunek linii jest rosnący, malejący, poziomy lub pionowy. Linia rośnie, jeśli idzie w górę od lewej do prawej, co oznacza, że nachylenie jest dodatnie (m> 0). Linia maleje, jeśli opada od lewej do prawej, a nachylenie jest ujemne (m <0). Jeśli linia jest pozioma, nachylenie wynosi zero i jest funkcją stałą (y = c). Jeśli linia jest pionowa, nachylenie jest niezdefiniowane.

Zmiana bezpośrednia
Mówiąc najprościej, dwie zmienne podlegają bezpośredniej zmianie, gdy to samo, co dzieje się z jedną zmienną, dzieje się z drugą. Jeśli x
a y są w bezpośredniej zmienności, a x jest podwojone, a następnie y
zostałby również podwojony. Te dwie zmienne można uznać za wprost proporcjonalne.

Na przykład szczoteczka do zębów kosztuje 2 złote. Zakup 5 szczoteczek do zębów kosztowałby 10 złotych, a zakup 10 szczoteczek kosztuje 20 złotych. Można więc powiedzieć, że koszt zmienia się bezpośrednio w stosunku do wartości szczoteczek do zębów.

Odchylenie bezpośrednie jest reprezentowane przez równanie liniowe i można je modelować, tworząc wykres liniowy. Ponieważ wiemy, że związek między dwiema wartościami jest stały, możemy podać ich związek z:
yx = k
Gdzie k jest stała.

Przepisując to równanie, mnożąc obie strony przez x daje to:
y = kx

Zauważ, że jest to równanie liniowe w postaci punktu przecięcia z osią.

Odwrotna wariacja
Zmienność odwrotna jest przeciwieństwem zmienności bezpośredniej. W przypadku zmienności odwrotnej wzrost jednej zmiennej prowadzi do zmniejszenia innej. W rzeczywistości mówi się, że dwie zmienne są odwrotnie proporcjonalne, gdy operacja zmiany jest wykonywana na jednej zmiennej, a na drugiej dzieje się odwrotnie. Na przykład, jeśli x a y są odwrotnie proporcjonalne, jeśli x jest podwojone, to y jest o połowę mniejsze.

Na przykład czas potrzebny na podróż jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości podróży. Jeśli Twój samochód jedzie z większą prędkością, podróż do miejsca docelowego będzie krótsza.

Wiedząc, że związek między dwiema zmiennymi jest stały, możemy pokazać, że ich związek jest następujący:
yx = k
Gdzie k jest stałą nazywaną stałą proporcjonalności. Zauważ, że dopóki k nie jest równe 0, ani x, ani y nie mogą być równe 0.
Możemy zmienić powyższe równanie, aby umieścić zmienne po przeciwnych stronach:
y = kx

Zauważ, że to nie jest równanie liniowe. Niemożliwe jest przedstawienie go w postaci punktu przecięcia z osią. Zatem odwrotnej zależności nie można przedstawić za pomocą linii o stałym nachyleniu. Odwrotną zmienność można zilustrować za pomocą wykresu w kształcie hiperboli.

Graficzne znajdowanie zera funkcji liniowych
Zera można obserwować graficznie. X czyli zero, jest właściwością wielu funkcji. Ponieważ punkt przecięcia z osią x (zero) jest punktem, w którym funkcja przecina oś x, będzie miała wartość (x, 0), gdzie x
jest zerem.

Wszystkie linie z wartością nachylenia będą miały jedno zero. Aby znaleźć zero funkcji liniowej, po prostu znajdź punkt, w którym prosta przecina x
-oś.

Równania kierunkowe
Kluczowe punkty
Postać nachylenia-punkt przecięcia z linią jest określona przez y = mx + b
gdzie m to nachylenie prostej, a b.
Stała b jest znana jako punkt przecięcia z osią y. Z postaci nachylenia-przecięcia, gdy x = 0, y = b, a punkt (0, b) jest unikalnym punktem na prostej również na osi y.
Aby wykreślić linię w postaci punktu przecięcia z osią, najpierw wykreśl y
a następnie użyj wartości nachylenia, aby zlokalizować drugi punkt na linii. Jeśli wartość nachylenia jest liczbą całkowitą, użyj 1 dla mianownika.
Użyj algebry, aby obliczyć y jeśli równanie nie jest zapisane w postaci kierunkowej. Dopiero wtedy można uzyskać wartość nachylenia i y – punkt przechwytujący należy dokładnie zlokalizować z równania.

Kluczowe terminy:
-nachylenie: stosunek odległości pionowej i poziomej między dwoma punktami na linii; zero, jeśli linia jest pozioma, niezdefiniowana, jeśli jest pionowa.
-Punkt przecięcia z osią y: punkt, w którym prosta przecina y -osi siatki kartezjańskiej.

Jedną z najczęstszych reprezentacji linii jest postać z kierunkiem przecięcia. Takie równanie daje y = mx + b, gdzie x i y są zmiennymi, a m i b są stałymi. Zapisana w tej formie, stała m jest wartością nachylenia, a b jest punktem przecięcia z osią y. Zauważ, że jeśli m wynosi 0, to y = b reprezentuje poziomą linię. Zauważ, że to równanie nie dopuszcza linii pionowych, ponieważ wymagałoby to, aby m było nieskończone(niezdefiniowane). Jednak pionową linię definiuje równanie x = c dla pewnej stałej c.

Przekształcanie równania w postać kierunkową:
Zapisanie równania w postaci kierunkowej z kierunkiem kierunkowym jest cenne, ponieważ z tej postaci łatwo jest zidentyfikować nachylenie i y. Pomaga to w znalezieniu rozwiązań różnych problemów, takich jak tworzenie wykresów, porównywanie dwóch linii w celu określenia, czy są równoległe, czy prostopadłe, oraz rozwiązywanie układu równań.

Równania punkt nachylenia
Użyj formy punkt-nachylenie, aby znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty i sprawdzić, czy są równoważne.
Kluczowe punkty:
-Równanie punkt – nachylenie jest określone przez y − y1 = m (x − x1)
gdzie (x1, y1) to dowolny punkt na prostej, a mto nachylenie linii.
-Równanie punkt-nachylenie wymaga, aby istniał co najmniej jeden punkt i nachylenie. Jeśli są dwa punkty i nie ma nachylenia, nachylenie można najpierw obliczyć z dwóch punktów, a następnie wybrać jeden z dwóch punktów, aby zapisać równanie.
-Równanie punkt-nachylenie i równania kierunkowe-punkt przecięcia są równoważne. Można wykazać, że dany punkt (x1, y1) i nachylenie m, punkt przecięcia z osią y (b) w równaniu kierunkowym to y1 − mx1.

Równanie punkt-nachylenie jest sposobem opisu równania prostej. Postać punkt-nachylenie jest idealna, jeśli masz nachylenie i tylko jeden punkt lub jeśli masz dwa punkty i nie wiesz, czym jest punkt przecięcia z osią y. Biorąc pod uwagę nachylenie, m i punkt (x1, y1), równanie punkt-nachylenie to: y − y1 = m (x − x1).

Zastosowanie funkcji i wykresów liniowych
Relacje liniowe są często używane do modelowania sytuacji z życia wziętych. Aby utworzyć równanie i wykres w celu zamodelowania rzeczywistej sytuacji, potrzebujesz co najmniej dwóch wartości danych związanych z rzeczywistą sytuacją. Po przedstawieniu wartości danych graficznie i ustaleniu równania prostej można przedstawić pytania dotyczące rzeczywistej sytuacji i odpowiedzieć na nie.

Równania liniowe często obejmują szybkość zmian. Na przykład szybkość, z jaką zmienia się odległość w czasie, nazywa się prędkością. Jeśli znane są dwa punkty w czasie i całkowita przebyta odległość, można określić szybkość zmian, zwaną również nachyleniem. Na podstawie tych informacji można zapisać równanie liniowe, a następnie można przewidzieć prognozy na podstawie równania prostej.
Jeśli jednostka lub ilość, w odniesieniu do której coś się zmienia, nie jest określona, ​​zwykle stawka dotyczy jednostki czasu. Najpopularniejszym rodzajem częstości jest „na jednostkę czasu”, na przykład prędkość, tętno i strumień. Wskaźniki, które nie mają mianownika bez czasu, obejmują kursy wymiany, wskaźniki alfabetyzacji i pole elektryczne (w woltach / metr).