Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne – zależności między bokami i kątami trójkąta prostokątnego
Jest wiele działów matematyki, które choć wydają się trudne, to jednak bardzo często przydają się w codziennym życiu. Na pewno można do nich zaliczyć badania trygonometrii, a dokładnie funkcje trygonometryczne.
Funkcje trygonometryczne – czym są?
Funkcje trygonometryczne to nic innego jak funkcje matematyczne, które wyrażają stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych. Warto zauważyć, że funkcje trygonometryczne można analizować nie tylko pod kątem geometrii, ale także w szeroko rozumianej analizie matematycznej, a więc można je analizować i definiować za pomocą szeregów potęgowych bądź też niektórych równań różniczkowych. Do funkcji zalicza się sinus, cosinus, tangens i cotangens, sekans, kosekans, choć tych dwóch ostatnich współcześnie używa się bardzo rzadko. Należy wiedzieć, że działem matematyki, który bada funkcje jest trygonometria, a w bardzo ścisłym określeniu goniometria. Warto zauważyć, że definicję z elementów trójkąta prostokątnego można rozumieć poprzez stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego.
Poznaj elementy trójkąta prostokątnego
Do elementów kąta można zaliczyć sinus, który oznacza się w Polsce symbolem sin. Jest to stosunek długości przyprostokątnej a, która leży na przeciw kąta alfa i długości przeciwprostokątnej c. Z kolei cosinus w Polsce znany jako cos, to stosunek długości przyprostokątnej b przyległej do kąta alfa i przeciwprostokątnej c. Tangens ma symbol tg i jest to stosunek długości przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta alfa i długości przyprostokątnej b, która jest przyległa do tego kąta. Cotangens w Polsce oznaczany jest jako ctg i jest to stosunek długości przyprostokątnej b przyległej do kąta alfa i długości przyprostokątnej a, która leży na przeciw owego kąta. Secans ma symbol sec. Jest to stosunek długości przeciwprostokątnej c i długości przyprostokątnej b, która jest przyległa do kąta alfa. Jest to odwrotność cosinusa. Inną funkcją trygonometryczną jest kosekans. W Polsce ma symbol cosec i jest to stosunek długości przeciwprostokątnej c i przyprostokątnej a, która leży na przeciw kąta alfa. Jest to odwrotność sinusa, choć nie można mylić z funkcją odwrotną arcsin.
Funkcje trygonometryczne – historia
Funkcje trygonometryczne były znane już w starożytności. Otóż w Egipcie i Babilonie badano je, choć znane były już twierdzenia dotyczące stosunku boków trójkątów podobnych. Jednak należy zauważyć, że w Starożytnym Egipcie i Babilonie nie znano samej idei miar kąta, co oznacza, że badano tylko boki trójkąta. Są badacze, którzy twierdzą, że Babilończycy już na przełomie 1900-1800 p.n.e napisali tablice Sekansów. Choć inni uważają, że były to raczej tablice trójek Pitagorejskich. Wiele twierdzeń z trygonometrii było odkrytych w Starożytnej Grecji. Jednak Grecy operowali raczej długościami łuków i cięciw, natomiast nie do końca rozumieli jeszcze stosunek długości boków trójkąta, także miary kąta nie były im znane. Euklides i Archimedes posługiwali się niektórymi stwierdzeniami, które można uznać za funkcje trygonometryczne. W księdze drugiej Elementów znajdują się przykłady i rozwiązania, które zaopatrzone są we wzory cosinusów. Z kolei w przypadku badania długości cięciw zastosowano wzory sinusów. Warto także wiedzieć, że jedno z twierdzeń Archimedesa jest odpowiednikiem wzoru na sinus sumy, ale zawiera także obliczenia w różnicy kątów. Na przełomie 180-125 p.n.e Hipparch ułożył pierwsze tablice, które można uznać za trygonometryczne. Z kolei Menelaos z Aleksandrii sformułował twierdzenia dotyczące trójkątów na płaszczyźnie, a także twierdzenie, że dwa trójkąty sferyczne są przystające, jeśli kąty mają równe miary. Takiego stwierdzenia nie odnajdzie się na tablicach Hipparcha. Menelaos zauważył, że suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze większa niż 180 stopni. W następnych latach nad twierdzeniami pracował Klaudiusz Ptolemeusz, który opracował bardzo dokładnie koncepcję cięciw na okręgu Hipparcha. Trzeba przyznać, że jest to jedno z najważniejszych odkryć i znaczących osiągnięć w dziedzinie trygonometrii. Bardzo ważne jest także twierdzenie Ptolemeusza. W tym przypadku równoważy się wzory sinus i cosinus, ale także podkreśla różnicę, choć nie stosuje się tutaj funkcji, lecz wszystko wyrażone jest w języku cięciw. Ptolemeusz podobno tworzył także tablice trygonometryczne, choć nie przetrwały one do dzisiaj. Trzeba przyznać, że duży postęp w trygonometrii uczyniono dzięki średniowiecznym Indiom, gdzie indyjski matematyk i astronom Aryabhata zdefiniował sinus rozumiany jako związek między połową kąta i połową cięciwy. Zdefiniował także cosinus, sinus wersus i arcus sinus. Jego tablice przetrwały do współczesnych czasów, gdzie wartości funkcji sinus i sinus wersus zostały zaznaczone co 3,75 stopnia od 0 do 90 stopni. Kolejni indyjscy matematycy i naukowcy rozwijali te twierdzenia i podkreślali ich bardzo duże znaczenie. Już w następnych latach prace indyjskich naukowców zostały przetłumaczone do krajów muzułmańskich. Muhammad ibn Musa al Chuwarizmi obliczył dokładnie tablice sinusa i cosinusa, a także tangensa. Rozwój trygonometrii nastąpił także za sprawą starożytnych Chin i to także dlatego, że przetłumaczono tam prace islamskich naukowców. W okresie dynastii Song kładziono nacisk na geometrię sferyczną. Naukowiec Quo stosował funkcje trygonometryczne do rozwiązania problemów matematycznych, gdzie występowały cięciwa i łuki. Także Europa w okresie renesansu zaczęła traktować trygonometrię jako oddzielną dyscyplinę. Funkcję sekans wprowadził Mikołaj Kopernik. Z kolei Edmund Gunter używał słowa cotangens w 1620 r. On jest także twórcą skrótów.
Funkcje trygonometryczne – wzory, które musisz znać
Jedynka trygonometryczne
sin2α+cos2α=1
Wzory na tangens i cotangens
tgα=sinα: cosα
ctgα=cosα : sinα
tgα⋅ctgα=1
Funkcje trygonometryczne potrojonego kąta
sin3α=−4sin³α+3sinα
cos3α=4cos³α−3cosα
tg3α=(3 tgα−tg³α) : (1−3 tg²α)
ctg3α=ctg³α−3 ctgα : (3 ctg²α−1)
Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów
sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα
sin(α−β)=sinαcosβ−sinβcosα
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tg(α+β)=tgα+tgβ :1−tgα tgβ
tg(α−β)=tgα−tgβ : 1+tgα tgβ
ctg(α+β)=ctgα ctgβ −1: ctgβ+ctgα
ctg(α−β)=ctgα ctgβ+1 : ctgβ−ctgα
Wzory redukcyjne
sin(90∘+α)=cosα
cos(90∘+α)=−sinα
tg(90∘+α)=−ctgα
ctg(90∘+α)=−tgα
sin(90∘−α)=cosα
cos(90∘−α)=sinα
tg(90∘−α)=ctgα
ctg(90∘−α)=tgα
sin(180∘+α)=−sinα
cos(180∘+α)=−cosα
tg(180∘+α)=tgα
ctg(180∘+α)=ctgα
sin(180∘−α)=sinα
cos(180∘−α)=−cosα
tg(180∘−α)=−tgα
ctg(180∘−α)=−ctgα
sin(270∘+α)=−cosα
cos(270∘+α)=sinα
tg(270∘+α)=−ctgα
ctg(270∘+α)=−tgα
sin(270∘−α)=−cosα
cos(270∘−α)=−sinα
tg(270∘−α)=ctgα
ctg(270∘−α)=tgα
sin(360∘+α)=sinα
cos(360∘+α)=cosα
tg(360∘+α)=tgα
ctg(360∘+α)=ctgα
sin(360∘−α)=−sinα
cos(360∘−α)=cosα
tg(360∘−α)=−tgα
ctg(360∘−α)=−ctgα
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych:
sinα+sinβ=2sin(α+β:2)·cos(α−β:2)
sinα−sinβ=2cos(α+β:2) sin(α−β:2)
cosα+cosβ=2cos(α+β:2)cos(α−β:2)
cosα−cosβ=−2sin(α+β:2)sin(α−β:2)
tgα+tgβ=sin(α+β): cosαcosβ
tgα−tgβ=sin(α−β):cosαcosβ
ctgα+ctgβ=sin(β+α):sinαsinβ
ctgα−ctgβ=sin(β−α):sinαsinβ
cosα+sinα=2–√sin(45∘+α)=2–√cos(45∘−α)
cosα−sinα=2–√cos(45∘+α)=2–√sin(45∘−α)
Sumy i różnice jedności z funkcjami trygonometrycznymi
1+sinα=2sin²(45∘+α:2)=2cos²(45∘−α:2)
1−sinα=2sin²(45∘−α:2)=2cos²(45∘+α:2)
1+cosα=2cos²· α:2
1−cosα=2sin²·α:2
1+tg²α=1:cos²·α
1+ctg²α=1:sin²α
Różnice kwadratów funkcji trygonometrycznych
sin²α−sin²β=cos²β−cos²α=sin(α+β)sin(α−β)
cos²α−sin²β=cos²β−sin²α=cos(α+β)cos(α−β)
Iloczyny funkcji trygonometrycznych
sinαsinβ=1/2[cos(α−β)−cos(α+β)]
cosαcosβ=1/2[cos(α−β)+cos(α+β)]
sinαcosβ=1/2[sin(α−β)+sin(α+β)]
Definicja za pomocą szeregów Taylora
Definicje za pomocą szeregów Taylora określają wartości funkcji trygonometrycznych, ale dla dowolnych liczb rzeczywistych. Pozwalają także na uogólnienie funkcji na zbór liczb zespolonych macierzy, a nawet algebry operatorów. Takie definicje można też zastosować do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych. Można je jednoznacznie przybliżać wielomianami, na dowolnym przedziale, ale pod warunkiem, że zawierają się w dziedzinie funkcji. W otoczeniu 0 można do tego wykorzystać wyrazy szeregu Taylora, ale nie można jednostajnie przybliżać wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. Można zastosować natomiast definicje za pomocą równań różniczkowych, gdzie sinus i cosinus są rozwiązaniami, które opisują ruchy masy podwieszonej na sprężynie, ale sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania. Można także zastosować definicje za pomocą iloczynów nieskończonych czy ułamków łańcuchowych.
Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej
Funkcje trygonometryczne rozpatruje się także dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Wtedy mają one następujące własności. Sinus i Cosinus określane są dla każdej liczby rzeczywistej, natomiast tangens jest określany w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, gdzie k określane jest liczbą całkowitą. Cotangens jest określany w zbiorze wszystkich liczb, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
W trójkącie prostokątnym ABC kąt alfa jest ostry. Przyprostokątna a leży na przeciw kąta alfa, a przyprostokątna b przylega do konta alfa. Przeciwprostokątną oznacza się przez c.
Rozważanie kąta ostrego opartego na łuku AB
Miarą łukową kąta jest długość łuku okręgu o promieniu 1, na którym to łuku oparty jest ten kąt. Liczba ta jest bezwymiarowa, a więc niemianowana i przyjmuje wartości od 0 do 2.Warto tutaj wiedzieć, że najdłuższym łukiem może być cały obwód okręgu o promieniu 1. Jednostką tej miary jest radian. Warto także wiedzieć czym jest kąt skierowany. Określa się go jako uporządkowaną parę półprostych, które mają ten sam początek. Dzięki uporządkowaniu można wyróżnić pierwszą, która nazywana jest ramieniem początkowym kąta skierowanego, a także drugą, którą określa się ramieniem końcowym kąta skierowanego. Przy czym jeśli kąt jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to zakłada się, że ma miarę dodatnią, natomiast jeśli kąt skierowany jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to jego miara zawsze jest ujemna.