Logarytmy

Matematyczne sposoby myślenia o wykładnikach

Matematyka od stuleci cieszyła się uznaniem, aż zapracowała na opinię “Królowej Nauk”. I nie jest to jedynie określenie na wyrost, bowiem realnie wywiera wpływ na każdą dziedzinę nauki, a tym samym i życie. Gdyby nie liczby nie, nie byłoby: ubrań na miarę, samochodów, banknotów, budynków, czy zdobyczy technologicznych.
Niezależnie od tego, czy należymy do grona tak zwanych “umysłów ścisłych”, czy “humanistów”, podstawy warto znać! Tym bardziej, że nikt z nas nie wie, kiedy mogą się przydać…
Do grona pewnych “zagadnień” matematycznych, które, na etapie szkoły średniej, warto poznać, należą zdecydowanie logarytmy.

1. Jak doszło do powstania logarytmów, czyli krótki rys historyczny…

Logarytmy, w przeciwieństwie do innych dziedzin i działów matematyki, nie powstały w starożytności, a znacznie później! Bowiem dopiero XVI wiek sprawił, że powołano je na karty historii. Wynikało to w dużej mierze z potrzeb ówczesnego świata. Brakowało w średniowieczu wzorów matematycznych, które można by wykorzystać w astronomii, handlu, czy podczas odbywania dalekiej, morskiej żeglugi.
Trzeba było pracy dwóch, wybitnych umysłów ścisłych, aby powstać mogły nowe sposoby myślenia o wykładnikach. Logarytmy, bo o nich mowa, opracowali matematycy: John Napier of Merchiston (Szkot) oraz Henry Briggs (Anglik). Ten drugi ponadto zajmował się również astronomią.

2. Logarytmy, a postać wykładnicza- podobieństwa i różnice

W matematyce logarytm przedstawia się jako inny sposób myślenia o wykładnikach. Aby to jednak zobrazować, warto posłużyć się przykładem:

Zamiast mnożyć 2x2x2x2= 16, używa się wersji skrótowej, czyli- potęgowania. Jak widzimy 2 wystąpiła aż 4 razy, aby uzyskać wynik końcowy. Zatem 2 podniesione do potęgi 4 równa się 16.

Mamy zatem do wyboru dwa warianty zapisu:

2x2x2x2= 16 lub 24=16

24=16 jest właśnie wspomnianym równaniem wykładniczym!

Matematyka jednak lubi działania upraszczać, a wzory skracać. Tym samym, gdyby ktoś się zastanawiał:

“2 podniesione, do której potęgi da nam 16?” Odpowiedź brzmiałaby 4, a zapis wyglądałby następująco:

log2(16)=4 , odczytujemy: “logarytm o podstawie dwa z szesnastu równa się cztery”

Tym samym:

24=16 ⟺ log2(16)=4

W obu przypadkach otrzymujemy ten sam wynik, różni się tylko zapis matematyczny.

Jaka jest zatem różnica?

24=16 W tym przypadku potęgujemy podstawę (czyli 2) aż 4 razy, aby uzyskać wynik potęgowania podstawy (czyli 16).
log2(16)=4 W tym przypadku wynikiem działania logarytmu jest wykładnik potęgi (czyli 4).

Na powyższych przykładach można zauważyć, że za każdym razem można uzyskać dwie postaci (odpowiednio: logarytmiczną albo wykładniczą), w zależności od tego, na jaki zapis matematyczny się zdecydujemy.

Postać logarytmiczna Postać wykładnicza

log2(16)=4 to 24=16
log5(25)=2 to 52=25
log3(27)=3 to 33=27
log4(256)=4 to 44=256

3. Formalna definicja logarytmów

Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a do potęgi c równa się b.

loga(b)=c to ac = b

a- podstawa logarytmu
b- argument logarytmu
c- wykładnik

Aby obliczyć loga(b) najprościej postawić pytanie:

Do jakiej potęgi należy podnieść a, aby otrzymać b?

Sprawdź sam! (Logarytmy-zadania przykładowe):

log5(25)=2

Powyższy zapis odczytamy jako:
Logarytm liczby 25 przy podstawie 5 daje wynik 2.

Aby powstała postać wykładnicza, należy zapytać:
Do jakiej potęgi należy podnieść 5, aby otrzymać 25?

Odpowiedź:

52=25, czyli do potęgi 2

ZAPAMIĘTAJ!

Zauważ, że niezależnie, czy wybierzesz postać logarytmiczną, czy wykładniczą, to podstawa logarytmu jest TAKA SAMA jak podstawa wykładnika!!!

Sprawdź sam! (Logarytmy zadania):

a) loga(b)=c to ac = b

podstawa logarytmu-a
podstawa wykładnika-a

b)log2(16)=4 to 24=16

podstawa logarytmu-2
podstawa wykładnika-2

c) log4(256)=4 to 44=256

podstawa logarytmu-4
podstawa wykładnika-4

4. Czy podstawa logarytmu może być liczbą ujemną?

Poznaliśmy już budowę logarytmu oraz sposób jego odczytywania. Wiemy też, że logarytmy można przekształcić w postać wykładniczą. Zastanówmy się teraz, czy istnieją jakieś ograniczenia…

Sprawdź sam!

Czy istnieje potęga, do której należy podnieść 0, aby otrzymać 6?

Postać wykładnicza: 0?=6
Postać logarytmiczna: log06=?

Odpowiedź:

Nie można potęgować 0, zatem PODSTAWA LOGARYTMU MUSI BYĆ LICZBĄ DODATNIĄ!

Aby przy rozwiązywaniu następnych zadań się już nad tym nie zastanawiać, powstały pewne ograniczenia, które należy znać…

5. Logarytmy-ograniczenia na podstawę oraz argument logarytmu

Logarytmy wzory, które trzeba zapamiętać!

logb(a) może istnieć tylko wtedy, gdy:

I) b>0
Podstawa funkcji wykładniczej musi być zawsze dodatnia!

II) a>0
logb(a)=c oznacza to, że bc=a
Liczba dodatnia podniesiona do potęgi jest dodatnia, zatem bc>0 !

III) b≠1
b nigdy nie może wynosić 1, ponieważ 1 podniesione do dowolnej potęgi ZAWSZE wynosi 1!

Sprawdź sam! (Logarytmy zadania):

a) Czy możemy zapisać taką postać logarytmu: log2(16)?

b=2, zatem b>0 oraz b≠1
a=16, zatem a>0 Możliwe jest także stworzenie postaci wykładniczej.

Odpowiedź: Możemy użyć takiej postaci logarytmu

b) Czy możemy zapisać taką postać logarytmu: log2(-16)?

b=2, zatem b>0 oraz b≠1
a=-16, zatem a<0 Niemożliwe jest także stworzenie postaci wykładniczej.

Odpowiedź: Taki logarytm nie istnieje.

c) Czy możemy zapisać taką postać logarytmu: log-3(-27)?

b=-3, zatem b<0
a=-27, zatem a<0 Niemożliwe jest także stworzenie postaci wykładniczej.

Odpowiedź: Taki logarytm nie istnieje.

d) Czy możemy zapisać taką postać logarytmu: log-4(256)?

b=-4, zatem b<0
a=256, zatem a>0

Odpowiedź: Taki logarytm nie istnieje.

6. Wzory na logarytmy, które znacznie upraszczają liczenie!

Matematyka jest taką dziedziną nauki, która stosuje wzory, upraszczające liczenie. Również w przypadku logarytmów się z takimi spotykamy. Nie trzeba ich jednak zapamiętywać, bowiem wszystkie są dostępne dla maturzystów w tablicach matematycznych. Także nie ma się czego obawiać na egzaminie dojrzałości!!!

Przypomnijmy, że aby mógł powstać logb(a), muszą zachodzić następujące ograniczenia: b>0 , a>0, c>0 oraz b≠1. W związku z tym zachodzą następujące wzory na logarytmy:

I) dodawanie i odejmowanie logarytmów o tej samej podstawie:

logab + logac=loga(b⋅c)
logab – logac=loga(b/c)

Sprawdź sam! (Logarytmy zadania na dodawanie i odejmowanie logarytmów o tej samej podstawie):

a) log26+log2(2/3)= log2(6⋅ 2/3)=log24=2
Zauważmy, że log2 zostaje przepisany a w nawiasie mnoży się poszczególne wartości każdego z logarytmów. W tym przypadku 6 oraz 2/3.

b) log318-log32=log3(18/2)=log39=2
Zauważmy, że log3 zostaje przepisany a w nawiasie dzieli się poszczególne wartości każdego z logarytmów. W tym przypadku 18 oraz 2.

II) Wyciąganie wykładnika potęgi przed logarytm:

loga(bn)=n∙ logab
loganb= 1/n logab

Przypomnijmy, że wynikają one bezpośrednio z założeń:

loga(b)=c zatem ac=b

-Teraz podnieśmy obie strony do potęgi n:

anc=bn zatem logabn=nc

-Wcześniej ustaliliśmy, że logab=c. Zatem w powyższym równaniu zastępujemy “c” podanym logarytmem i otrzymujemy:

logabn=nc , a ustaliliśmy, że logab=c. Zatem otrzymujemy: logabn=n∙ logab

Sprawdź sam! (Logarytmy zadania na wyciąganie wykładnika potęgi przed logarytm):

a) log2(73)=3∙ log27=log21/( 3)7=log3√27

-alogab=b

-logab=logcb/logca

-logab=1/logba

-loga1=0

-logaa=1

-logaac=c

7.Wzory na logarytmy dziesiętne i naturalne

W matematyce wyróżnia się również dwa rodzaje logarytmów, które są najczęściej używane: logarytmy dziesiętne oraz logarytmy naturalne.

I) Logarytmy dziesiętne (Briggsa)

Logarytmy dziesiętne w podstawie ZAWSZE mają 10, dlatego nie musimy jej zapisywać. Stosujemy zatem notację uproszczoną:

log10(x)=log(x)

Ciekawostką historyczną jest to, że zostały wprowadzone w życie w 1614 roku przez Henry’ego Briggs’a. Opracował on również wielocyfrowe tablice logarytmów.

II) Logarytmy naturalne ( nazywane również logarytmami Nepera)

Logarytmy naturalne to takie, które w podstawie mają liczbę “e”. Stosujemy dla nich notację uproszczoną:

loge(x)= ln(x)

Co jednak kryje się pod tajemniczym “e”?

Tajemnicze “e” to tak naprawdę stała matematyczna. Przyjmuje się, że w przybliżeniu wynosi: 2,718281828.

Wartości logarytmów naturalnych można bardzo łatwo sprawdzić za pomocą specjalnie stworzonych tabel.

Zarówno logarytmy dziesiętne, jak i naturalne oblicza się w ten sam sposób.

8. Logarytmy-zadania, które możesz spotkać na maturze:

Zad.1. Suma log816+1 jest równa:
A. 3
B. 65
C. log817
D. 7/3

Zad.2. Liczba o 2 większa od liczby log54=
A. log56
B. log58
C. log529
D. log5100

Zad.3. Wynikiem działania log42-2log6 jest:
A. log6
B. log 7/6
C. log6
D. 2log15

Zad.4. Oblicz wartość wyrażenia log5 0,04-1/2 log255∙log251=
A. -3
B. -2 1/4
C. -2
D. 0

Zad.5. Dane są liczby a=log3, b=log2. Wyznacz logarytm dziesiętny z liczby 72 za pomocą a i b.

Zad.6. Liczba log3729/log636 jest równa:
A. log6693
B. 3
C. log1/2 81/4
D. 4

Zad.7. Dane są liczby a=−127, b=log1464, c=log1327. Iloczyn abc jest równy…

Zad.8. Dane są liczby a=log3, b=log2. Wyznacz logarytm dziesiętny z liczby 72 za pomocą a oraz b.

Zad.9. Zapisz log4(16)=2 w postaci wykładniczej.

Zad.10. Iloczyn 2∙log1/39 jest równy:
A. -6
B. -4
C. -1
D. 1

Zad.11. Liczba c=log32. Wtedy:
A. c3=2
B.3C=2
C. 32=c
D. c2=3

Zad.12. Liczba log3 1/27 jest równa:
A. -3
B. -1/3
C. 1/3
D. 3

Zad.13. Oblicz log39−log216=

Zad.14. Oblicz log44−log41=

Zad. 15. Liczba log100−log28 jest równa:
A. -2
B. -1
C. 1
D. 0

Zad. 16. Różnica log39−log31jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Zad. 17. Wartość wyrażenia log48+5log42 jest równa:
A. 2
B. 4
C. 2+ log45
D. 1+ log410

Zad. 18. Oblicz log63+log612=

9. Zastosowanie logarytmów w życiu, czyli czy wiesz, że …

Logarytmy nie są oderwane od rzeczywistości, jakby się mogło wydawać niektórym uczniom. Pełnią niezwykle ważną funkcję między innymi w: astronomii, bankowości, chemii, topologii.

Co ciekawe, za pomocą logarytmów możemy przewidzieć, między innymi: liczby rat kredytów, które przyjdzie nam w przyszłości spłacać, czy prawdopodobieństwo wystąpienia trzęsienia ziemi w danym rejonie geograficznym.