Twierdzenie Pitagorasa

Wszystko, co powinieneś wiedzieć na temat twierdzenia Pitagorasa

Niewątpliwie twierdzenie Pitagorasa to jedno z najbardziej znanych twierdzeń matematycznych, jednak warto wiedzieć, że jego jeszcze nieusystematyzowane założenia znane były na długo przed tym, kiedy urodził się znany matematyk, twórca Szkoły Pitagorejskiej. Otóż warto podkreślić, że piramidy powstawały znacznie wcześniej, a ich budowniczy musieli znać założenia budowy trójkąta prostokątnego. Ponadto istnieją zapisy świadczące o tym, że założenia dotyczące trójkąta prostokątnego znane były Egipcjanom. Mówimy nawet o najbardziej znanym jego przykładzie, czyli trójkącie egipskim, którego przyprostokątne miały długość 3 i 4, a przeciwprostokątna 5.

Egipt darem Nilu i źródło matematycznych formuł

Zanim przejdziemy do omówienia wzoru na twierdzenie Pitagorasa, przyjrzymy się nieco historii, by zrozumieć do czego potrzebne były Egipcjanom założenia dotyczące trójkąta prostokątnego. Otóż każdego roku granice ich działek rolnych przesuwały się w związku z wylewaniem się rzeki Nil. Musieli je wyznaczać na nowo, a było to o tyle ważne, że płacili za nie określone podatki (tak już wtedy je wymyślono). Do mierzenia swoich działek używali węzłów i tworzyli trójkąt o bokach składających się z 3, 4 i 5 węzłów. Służyło im to do wyznaczenia ówczesnej jednostki miary, czyli prostokąta o wymiarach łokieć na 100 łokci, jednak aby go wyznaczyć musieli najpierw wyznaczyć kąt prosty. Dowodem na rozwój arytmetyki i geometrii jest papirus Rhinda powstały ok. 1650 r. p.n.e. Są na nim zadania z rozwiązaniami i rysunkami, które prawdopodobnie mieli przyswoić królewscy skrybowie. Patrząc chociażby na Piramidę Cheopsa można przypuszczać, że jej budowniczy musieli znać zasady dotyczące trójkątów prostokątnych. Co zaskakujące wiedza na temat trójkątów prostokątnych znana była najprawdopodobniej przynajmniej tysiąc lat przed narodzeniem Pitagorasa, a dowodem tego są gliniane tabliczki pochodzące z innej wielkiej cywilizacji, czyli Babilonu, na których zapisano trójki Pitagorejskie, czyli liczby spełniające twierdzenie Pitagorasa. Powstanie tych tabliczek datuje się na mniej więcej 1800-1600 r. p.n.e, a warto przypomnieć, że Pitagoras urodził się na wyspie Samos w 572 r. p.n.e.

Pitagoras i jego słynne twierdzenie

Swoją karierę naukową Pitagoras rozpoczął stosunkowo późno, bowiem w wieku 40 lat zaczął podróżować, między innymi do Egiptu. Po powrocie założył Związek Pitagorejski, który zrzeszał kobiety i mężczyzn. Aby wejść w jego struktury kandydaci musieli przejść próbę w postaci 5 lat wstrzemięźliwości, posłuszeństwa, a także złożyć śluby milczenia czy przyjąć regułę wspólnoty dóbr. Kiedy Pitagoras zmarł szkoła podzieliła się na akuzmatyków i matematyków.

Twierdzenie Pitagorasa i trójki pitagorejskie

Jak wiadomo twierdzenie Pitagorasa mówi, że: suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Twierdzenie Pitagorasa wzór:

We wzorze wygląda to następująco: a2+b2=c2

Znając to założenie można stworzyć trójki pitagorejskie, których jest nieskończenie wiele. To po prostu liczby całkowite, które spełniają twierdzenie Pitagorasa. Przykładem może być wspomniane 3, 4 i 5, a także 5,12, 13; 8, 15, 17; czy 9, 40, 41. Tworzenie trójek pitagorejskich jest tak naprawdę bardzo proste, bowiem wystarczy każdą liczbę danej trójki z wyżej wymienionych pomnożyć przez dowolną liczbę naturalną. Zatem mnożąc trójkę pitagorejską 9, 40, 41 przez dwa, otrzymujemy długości przyprostokątnych 18 i 80 oraz długość przeciwprostokątnej 82. Sprawdzamy tym samym, czy twierdzenie Pitagorasa rzeczywiście ma zastosowanie. 18 podniesione do potęgi drugiej to 324, a 80 podniesione do potęgi drugiej to 6400, co razem daje 6724 a tyle dokładnie wynosi 82 podniesione do potęgi drugiej. Zatem udowadniamy, że w istocie przy podanych wymiarach mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym. Możesz zatem tworzyć nieskończenie wiele trójek pitagorejskich na tej podstawie.

Twierdzenie Pitagorasa – zastosowanie w zadaniach

Jeśli mamy dany trójkąt prostokątny o bokach 3 i 4 i mamy obliczyć długość przeciwprostokątnej oznaczonej jako c stosujemy wzór a2+b2=c2. Podstawiamy więc dane do równania. 3 podniesione do kwadratu to 9, a 4 podniesione do kwadratu to 16. Suma tych wartości to 25, czyli nasze c2. Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej c należy zatem wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z 25. Jest to 5, bo 5×5=25. Jest to dowód na to, podobnie jak tworzenie trójek pitagorejskich, że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe.

Analogicznie możemy robić inne zadania. Załóżmy, że znamy długość przeciwprostokątnej, a także długość dłuższego boku i musimy obliczyć długość krótszego boku trójkąta prostokątnego oznaczonego literką x. Długość dłuższego boku przy kącie prostym to 6, a długość przeciwprostokątnej, tworzącej kąt ostry to 7. Podstawiamy dane do równania i wychodzi nam, że do x2 dodajemy 6 podniesione do kwadratu i otrzymujemy 7 podniesione do kwadratu. Teraz wystarczy obliczyć znane nam dane, czyli 6 podniesione do kwadratu (6×6=36), a także 7 podniesione do kwadratu (7×7=49). Aby obliczyć długość x2 wystarczy te wartości od siebie odjąć. Wychodzi nam, że x2 równy jest 13, natomiast x to pierwiastek z 13. W podobny sposób można łatwo obliczyć długość dłuższej przyprostokątnej, znając wartości krótszej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej. To oczywiście najprostsze zadania z zakresu twierdzenia Pitagorasa, bo dzięki znajomości tego twierdzenia można obliczać wysokość trójkąta równobocznego, wszak wyznaczając ją tworzy się dwa trójkąty prostokątne i warto zauważyć, że dzięki znajomości twierdzenia można wyznaczać też wysokość każdego innego trójkąta, czyli także równoramiennego. Warto wiedzieć, że właśnie z takich trójkątów i podstawy kwadratowej zbudowane są piramidy. Stąd założenie, że Egipcjanie musieli znać założenia twierdzenia Pitagorasa, które ówcześnie nie było jeszcze usystematyzowane. Oczywiście takie bryły to ostrosłupy prawidłowe czworokątne.

Obliczamy długość przyprostokątnej z wyłączeniem czynnika przed znak pierwiastka

Warto również przytoczyć w jaki sposób obliczyć długość przyprostokątnej w sytuacji, kiedy nie możemy wyciągnąć pierwiastka z większej liczby, ale możemy ją przedstawić w formie mnożenia z liczbą, z której da się wyciągnąć pierwiastek. W ten sposób można wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka. Załóżmy, że nasz trójkąt ma krótszą przyprostokątną długości 5 i musimy obliczyć dłuższą oznaczoną x, podczas gdy długość przeciwprostokątnej to 10. Tutaj podstawiamy ponownie wszystko pod wzór, gdzie 5 podniesione do kwadratu to 25, a 10 podniesione do kwadratu to 100. Obliczając x2 odejmujemy kwadrat przeciwprostokątnej od kwadratu przyprostokątnej, zatem od 100 odejmujemy 25. Wychodzi nam, że x2 =75. W takim razie x to √75. Teraz musimy wyciągnąć czynnik przed nawias, a wiadomo, że 25×3=75. Zatem wpisujemy x=√25x√3. Teraz wyciągamy czynnik przed znak pierwiastka, czyli wychodzi nam, że x to 5√3.

Obliczanie długości boków trójkąta prostokątnego z użyciem wzorów skróconego mnożenia

Matematyka daje wiele możliwości, dlatego do obliczenia długości boków trójkąta przyprostokątnego można zastosować również wzory skróconego mnożenia. Kiedy długość dłuższej przyprostokątnej to przykładowo 3x+1, a krótsza ma długość 4x, natomiast przeciwprostokątna ma długość 3-5x, musimy oczywiście obliczyć owy x i tu potrzebne są nam wzory skróconego mnożenia. Zatem stosujemy następujące:

(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)²= a²-2ab+b²

Podstawiamy zatem znane nam dane do wzoru według twierdzenia Pitagorasa co będzie wyglądało następująco:

(4x)²+(3x+1)²=(3-5x)²

Teraz musimy rozpisać równanie wykorzystując wzory skróconego mnożenia i dla jednej z przyprostokątnych wykorzystamy wzór skróconego mnożenia (a+b)², a dla przeciwprostokątnej (a-b)². Będzie to wyglądało następująco:

4²x²+(3x)² + 2 ∙ 3x ∙ 1 + 1² = 3² – 2 ∙ 3 ∙ 5x + (5x)²

Dalej obliczamy powyższe równanie:

16x² + 9x² + 6x + 1 = 9 – 30x + 25x²

Dodajemy, to co możemy, a następnie przenosimy x na lewo, a liczby na prawo i obliczamy x, pamiętając, że po przeniesieniu liczby zmieniają swój znak na przeciwstawny

25x² + 6x + 1 = 9 – 30x + 25x²

Wpiszemy całą formułę, aby było to zrozumiałe, choć normalnie po prostu wykreśla się w tym przypadku 25 x², które zostaje zredukowane do 0.

25x²– 25x² + 6x + 30x = 9 – 1

Zostaje nam zatem następujące równanie:

36x = 8

Teraz łatwo możemy wyliczyć x, dzieląc 8 przez liczbę przy x, czyli 36:

36x = 8/36
x = 8/36

Ten ułamek możemy skrócić do x = 2/9 (zarówno licznik jak i mianownik dzielą się przez 4)

Teraz możemy obliczyć długości wszystkich boków naszego trójkąta podstawiając x.

Zatem przypomnijmy, że krótsza przyprostokątna ma długość 4x, a dłuższa 3x + 1, z kolei przeciwprostokątna ma długość 3 – 5x

Teraz podstawiamy nasze x, aby otrzymać długość krótszej przyprostokątnej:

4x = 4 ∙ 2/9 = 8/9 ( mnożymy licznik razy licznik i mianownik razy mianownik)

Teraz obliczamy długość dłuższej przyprostokątnej:

3x + 1 = 3 ∙ 2/9 + 1 = 2/3 + 1 = 1 2/3

Na samym końcu obliczamy długość przeciwprostokątnej:

3 – 5x = 3 – 5 ∙ 2/9 = 3 – 10/9 = 3 – 1 1/9 = 1 8/9

Twierdzenie Pitagorasa można wykorzystać do wielu zadań. Dzięki niemu, znając długość przekątnej prostokąta i długość jednego z jego boków można obliczyć długość drugiego boku. Analogicznie wykorzystując je można obliczyć także długość przekątnej, znając długości boków. Dzięki wykorzystaniu twierdzenia Pitagorasa można również obliczyć odległość cięciwy od środka koła. Wystarczy znać wartości takie jak promień i długość samej cięciwy. Promień z dwóch stron stworzy z cięciwą trójkąt równoboczny. Zatem wyznaczając jego wysokość z użyciem twierdzenia Pitagorasa można obliczyć odległość od środka koła, bo owa wysokość jest tą odległością. Trzeba tu pamiętać, że we wzorze trzeba wziąć pod uwagę połowę długości cięciwy przecinającej okrąg, gdyż ona razem z promieniem i wysokością boku trójkąta równobocznego tworzy trójkąt prostokątny. Można zatem zauważyć, że znając wzór na Twierdzenie Pitagorasa można obliczyć wiele różnorodnych zadać z zakresu geometrii, a także trygonometrii.