Liczby Naturalne

Liczby naturalne – definicja oraz przykłady

Zbiór liczb naturalnych jest jednym z pierwszych, jaki poznajemy w trakcie trwania naszej przygody z matematyką. Są to liczby całkowite oraz dodatnie. W zależności od interpretacji- bowiem matematycy spierają się w tej kwestii- do liczb naturalnych włączamy, bądź nie, liczbę zero. Zdecydowanie częściej obserwuje się wliczanie liczby zero do naturalnych. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N, tak więc:

N=0,1,2,3,4,5,6,…

Służą one do podania liczności oraz ustalenia kolejności w zbiorach skończonych i policzalnych. Zbiór liczba naturalnych jest z kolei zbiorem nieskończonym- oznacza to, że nie istnieje największa liczba naturalna. Zbiór liczb naturalnych N to najmniejszy zbiór, który winien spełniać następujące warunki:

0∈N,
jeśli n∈N, to n+1∈N

Giuseppe Peano zaproponował definicję liczb naturalnych i zawarł w niej następujące punkty:

• istnieje liczba naturalna 0,
• każda liczba naturalna ma swój następnik,
• 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej,
• różne liczby naturalne mają różne następniki,
• jeśli 0 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Zdarza się, że dla określenia zbioru stosuje się inne oznaczenia:
N+={1,2,3,4,5,6,…}
Z+={1,2,3,4,5,6,…}
W matematyce liczby naturalne oznaczają zwykle liczby całkowite dodatnie.
Problem z liczbą zero
W pierwszej kolejności powinniśmy zastanowić się nad tym, do czego służą nam liczby zwane naturalnymi. Używa się ich w następujących trzech kontekstach:
• przy określaniu kolejności, czyli jako liczby porządkowe.
• przy określaniu liczebności (liczenia), czyli jako liczby kardynalne.
• jako przedmiot badań teorii liczb
W sytuacji, w której wykorzystujemy je do tego, by policzyć określone przedmioty, wydaje się czymś oczywistym, że powinniśmy zakwalifikować do zbioru liczbę zero, tak aby zawrzeć tam moc zbioru pustego.
Arytmetyka teoretyczna, jak zwykliśmy nazywać teorię liczb, dostarcza nam wielu definicji, dotyczących liczb naturalnych. Zwykle zawierają one następujące pozycje:
• Każda liczba naturalna przedstawia się w dokładnie jeden sposób jako iloczyn liczb pierwszych.
• Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych a, b nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, która jest wielokrotnością zarówno liczby a, jak i b.
• Liczba naturalna a jest dzielnikiem liczby naturalnej b, a| b, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna x, że b = ax.
Zero możemy zaliczyć do wyjątków, a owe definicje powinniśmy edytować i rozszerzyć w ten sposób, by zawrzeć w nich zastrzeżenia, że coś jest różne albo większe od zera. Aby uporządkować nieco problem liczby zero, coraz częściej używa się pojęć: „liczba całkowita dodatnia” oraz „liczba całkowita nieujemna”.
Jako rzecz bardzo ciekawą można podać fakt, że w greckiej a także późniejszej matematyce uznano, że liczba 1 nie jest naturalną.

“(…) każda liczba jest złożona i każda liczba składa się z jednostek. Zatem jednostka wchodzi w skład każdej liczby. (…) Jednostka jest podstawą wszystkich liczb i znajduje się poza ich zakresem. Jest podstawą liczby dlatego, że przez nią [w stosunku do niej] określa dowolną liczbę. Poza zakresem liczb jest ona dlatego, że określona jest sama przez się, to znaczy bez [pomocy] jakiejkolwiek innej liczby. Innych liczb nie da się wyznaczyć bez jednostki. Przecież kiedy mówisz “jeden”, to dla swojego określenia ona nie potrzebuje innej liczby, a inne liczby wymagają jednostki, bo nie możesz powiedzieć “dwa” albo “trzy”, jeśli nie poprzedza tego jednostka. Zatem każda liczba jest zbiorem jednostek, i mówiąc, że nie możesz powiedzieć “dwa” lub “trzy”, mówimy nie o słowach, a – że tak powiem – o istocie rzeczy. Przecież nie może być dwa ani trzy, jeśli usunąć jeden. Jednostka może istnieć bez drugiego i trzeciego. Tak więc dwa to nic innego, jak podwojona jednostka. Podobnie trzy to nic innego, jak potrojenie tej samej jednostki. I tak należy rozumieć inne liczby.”
Potrzebne było wiele czasu, by w końcu 1 do zbioru zaliczyć, co przypomina spór dotyczący liczby 0 i być może musi minąć kolejne kilka wieków, by uznano już stuprocentowo, że zero należy do zbioru liczb naturalnych.

Chcąc podsumować i wyjaśnić jak najprościej to, czym są liczby naturalne, możemy powiedzieć, że są to liczby, które po dodaniu lub pomnożeniu będą dawały nam wynik, który także będzie liczbą naturalną. Warto zaznaczyć, że w przypadku odejmowania i dzielenia zasada ta nie jest zachowana i istnieją przykłady, których wynik okazuje się nie być liczbą naturalną. W związku z tym możemy powiedzieć, że:
1, 2, 10, 154, 12013923, 304954953048- są liczbami naturalnymi
½, 321 ¾, 3,14- nie są liczbami naturalnymi
Oto kilka przykładów działań, które potwierdzą, że dodawanie i mnożenie liczb naturalnych zawsze da wynik będące liczbą naturalną oraz że nie zawsze jest tak z dzieleniem i odejmowaniem:
5+6= 11
151+222= 373
1004+12= 1016
6×5= 30
10×7= 70
323×48= 15 504
Teraz odejmowanie oraz dzielenie:
20-35= -15
1-2= -1
400-402= -2
10:30= 0,333333…
5:6= 0,83333…
50:100= 0,5

Liczby te nie możemy zakwalifikować do naturalnych, ponieważ do zbioru nie należą ułamki oraz liczby ujemne. Wśród zbioru zachodzi jeszcze jedna zależność o której warto wspomnieć:
a<b, a= b lub a>b, co oznacza, że każde dwie liczby naturalne, o ile nie są sobie równe, różnią się od siebie tym, że jedna jest większa od drugiej.

Podzielność liczb naturalnych
Ważnym elementem w przypadku zajmowania się liczbami naturalnymi są cechy podzielności omawianego zbioru, które przedstawiają się w następujący sposób:
Przez 2 (odpowiednio 5) dzielą się liczby, których ostatnią cyfrą jest cyfra podzielna przez 2 ( przez 5) lub cyfry zakończone zerem.
Przez 4 (odpowiednio 25) dzielą się liczby, które kończą się dwoma zerami lub jeżeli ich 2 ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 (przez 25)
Przez 8 (odpowiednio 125) dzielą się liczby, które kończą się trzema zerami lub jeżeli ich 3 ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 (przez 125).
Przez 3 (odpowiednio 9) dzielą się liczby, których suma składowych cyfr dzieli się przez 3 (przez 9).
Przez 6 dzielą się liczby, które są podzielne przez 2 oraz przez 3.
Przez 12 dzielą się liczby, które są podzielne przez 3 oraz przez 4.
Przez 18 dzielą się liczby, które są podzielne przez 2 oraz przez 9.
Przez 10 dzielą się liczby, których ostatnią cyfrą jest zero.
Jeśli różnica pomiędzy liczbą utworzona przez 3 ostatnie cyfry badanej liczby i liczbą powstałą z pozostałych cyfr lub na odwrót równa się zero lub dzieli się przez 7 (odpowiednio przez 11 lub 13) to liczba ta również dzieli się przez 7 (11 lub 13).

Zajmując się podzielnością liczb naturalnych nie możemy ominąć kwestii największego wspólnego dzielnika, czyli NWD oraz najmniejszej wspólnej wielokrotności czyli NWW.
NWD- to największa liczba naturalna, która dzieli dwie liczby bez reszty. Doprowadza nas to do następujących wniosków: największym wspólnym dzielnikiem liczb 10 i 6 jest liczba 2; liczb 15 i 5 jest 5; pary 75 i 100 jest 25. Do obliczania NWD służy algorytm Euklidesa, który polega obliczamy w następujący sposób:
Dzielimy z resztą liczbę a przez liczbę b
jeżeli reszta jest równa 0, to NWD (a,b)=b
jeżeli reszta jest różna od 0, to przypisujemy liczbie a wartość liczby b, liczbie b wartość otrzymanej reszty, a następnie wykonujemy ponownie punkt 1
Przykład: para liczb 282 oraz 78
Musimy podzielić 282 z 78, co daje nam wynik 3 z resztą 48. Kolejne kroki, powtarzane do otrzymania reszty równej 0:
78:48=1, reszty 30
48:30=1, reszty 18
30:18=1, reszty 12
18:12=1, reszty 6
12:6=2, reszty 0
NWD będzie równy ostatniej reszcie, która nie wynosi 0. Zatem otrzymujemy: NWD(282,78)=6

Przejdźmy teraz do NWW, czyli największej wspólnej wielokrotności. Jest to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością liczby n i liczby m.
Przykład: liczby 2 oraz 6.
NWW(2,3)=6
para liczb 5 i 10
NWW(5,10)=10
Trudniejszy przykład: liczby 6 oraz 8.

Wielokrotności liczby 6, to:
6,12,18,24,30,36,42,48,…
Wielokrotności liczby 8, to:
8,16,24,32,40,48,56,64,…
Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 6 i 8 jest liczba 24.
NWW(6,8)=24

Mnożenie ułamków przez liczby naturalnej
Ważnym elementem matematyki jest także dzielenie ułamków przez liczby naturalne. Zwykle nie jest to zabieg skomplikowany, ale warto bliżej się mu przyjrzeć i rozwiać wszelkie wątpliwości. Aby poprawnie pomnożyć ze sobą liczby, należy pomnożyć licznik ułamka przez liczbę naturalną, z kolei mianownik pozostawić bez zmian. Przypomnijmy czym jest licznik w ułamku, a czym mianownik:
¼- mianownikiem jest to co na dole, czyli czwórka, a licznikiem jedynka.
I tak na przykład mamy takie działanie, zawierające ułamek oraz liczbę naturalną:
¼ x 3
W pierwszej kolejności mnożymy licznik, czyli jedynkę z liczbą naturalną, czyli trójką, a więc mamy 1×3- to będzie nasz nowy licznik. Mianownik, czyli czwórkę zostawiamy bez zmian. Wynikiem jest więc nasz nowy licznik, czyli wynik z 1×3 oraz zostawiony bez zmian mianownik, czyli 4. W efekcie ¼ x 3 daje nam ¾.
Kolejnym przykładem niech będzie 2/7 x 2. Zachodzi prosta matematyka- 2×2 to 4, a mianownik bez zmian. A więc wynikiem jest liczba 4/7.

Dużo trudniej, aczkolwiek jest to do opanowania, robi się wtedy, gdy musimy zamienić liczbę na ułamek niewłaściwy. Weźmy na przykład działanie 1 2/5 x 3. W pierwszej kolejności należy włączyć całości do ułamka. Aby to zrobić, musimy wykonać kilka kroków. Najpierw mnożymy mianownik z liczbą naturalną przed ułamkiem, a więc 5×1, a następnie dodajemy do tego licznik, czyli liczbę 2. Działanie takie wygląda następująco: 5×1+2= 7. Wiemy już, co wpiszemy w liczniku. Mianownik pozostawiamy bez zmian, czyli z 1 2/5 robi nam się po prostu 7/5.

Włączenie całości sprawia, że możemy teraz już bez problemu doprowadzić do końca nasze działanie i pomnożyć ułamek niewłaściwy przez liczbę naturalną. Przypomnijmy, jakie było działanie: 1 2/5 (czyli 7/5) x 3. Postępujemy więc dokładnie tak samo jak w poprzednich przypadkach, czyli mnożymy licznik z liczbą całkowitą, a mianownik przepisujemy. 7 x 3 daje nam 21, dlatego wynikiem jest 21/5. Możemy jeszcze wyłączyć całości i otrzymamy 4 1/5, czyli 4,2.