Metoda przeciwnych współczynników

Metoda Przeciwnych Współczynników

Metody rozwiązywania równań

Czym jest równanie?
Równania w matematyce pojawiają się niemal w każdym dziale i jest to jeden z najważniejszych tematów na zajęciach z matematyki. Bez umiejętności rozwiązywania równań nie poradzimy sobie w dalszej edukacji.

Przykłady równań:

a) x = x + 2

b) 6 – 3 = 3

c) 2x + 3(12x – 4) – 32 = 5x + 6

d) x + 2y = 12

e) f(x) = 10

Rozwiązywaniem równania nazywamy moment w którym poprzez różne uproszczenia i przekształcenia wyznaczamy jego rozwiązanie.

Rodzaje równań.

– Równanie sprzeczne – to taki rodzaj równania, którego nie spełnia żadna liczba rzeczywista.

a) x^2 = 4
b) 7x – 2 = 7x + 3
c) 11 – 2x = -2x
d) x +1 = x – 2
e) 5x – 3 = 2(x + 4) + 3x
f) x – y = 1
g) x = x + 2
h) x + 2 = x + 3
i) 2(x + 1) = 2x + 3
j) 1 – sin^2 x = cos^2 x

– Równanie tożsamościowe – to taki rodzaj równania w którym lewa strona jest równana prawej, co oznacza, że równanie to posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Niezależnie, jaką liczbę podstawimy pod niewiadomą obie strony równania zawsze będą ze sobą równe. Równanie tożsamościowe nazywane jest również równaniem nieoznaczonym.

a) 2(x + 2) = 2x + 4
b) 2x = 2x
c) 5x – 3 = 5x – 3
d) x – √2 + 1 = 1 – √2 + x
e) 4(y – 1) + 7 = 4y + 3
f) 2(x + 1) = 2x + 2
g) 7x – 3 = 7x – 3
h) 2(x – 1) + 4 = 2x + 2
i) x + x = 2x
j) sin x = 1

– Równanie oznaczone – to taki rodzaj równania, które ma dokładnie jedno rozwiązanie.

a) 50x = 100
b) x + 2 = 3
c) 2x + 1 = 5
d) 3x + 1 = -3x – 2
e) x + 65 = 2
f) y = 6 – 4
g) √16 = x^2
h) (3 – 4)(4 – 2) = x
i) 8 = x
j) 3x = 9

Istnieją również inne rodzaje równań.

– Równanie algebraiczne – Równaniem algebraicznym nazywamy takie równanie, które występuje w postaci W (x, y, z…) = 0, gdzie W (x, y, z) jest wielomianem różnym od zera lub inaczej nazywanym równaniem n-tego stopnia.
Przykłady:
a) x – 1 = 0
b) x^3 + x – 1 = 0
c) (5x)^2 + 7 = 0

– Równanie diofantyczne – Równaniem diofantycznym nazywamy takie równanie, gdzie występują dwie lub więcej niewiadome, a jego rozwiązania szukamy w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych.
Przykłady:
a) x^n + y^n = x^n
b) 12x + 15y + 7z = 11
c) xy = yx
d) 2x + 1 = y^2

– Równanie funkcyjne – Równaniem funkcyjnym nazywamy takie równanie, w którym poszukiwaną niewiadomą jest funkcja. Przykładem dla równania funkcyjnego mogą być wszelkie równania różniczkowe i równania całkowe, a także takie równania, jak równanie Cauchy’ego ( f(x + y) = f(x) + f(y) ) lub też równanie Abela (α ( f(x) ) = α (x) + 1 ).
Przykłady:
a) y^n + y = 0
b) sy/sx + 2x = 0
c) y (t)^n = – y(t)

Rozwiązywanie równań – jak to zrobić poprawnie?
Aby nauczyć się rozwiązywać równania wystarczy wyuczyć się i zrozumieć kilka podstawowych metod. Nie należy zapominać także o kolejności wykonywania poszczególnych działań, czyli:
1) Na samym początku należy przede wszystkim uporządkować równanie. Co to znaczy? Aby uporządkować równanie w tym celu wykonujemy działania zgodnie z zasadami działań algebraicznych ( najpierw wykonujemy działania w nawiasach, jeżeli ich nie ma to wykonujemy następująco: potęgowanie wraz z pierwiastkowaniem, mnożenie/dzielenie, dodawanie oraz odejmowanie).

3x + 12 – 4x – 3 x – 2 = 2
– 4x + 8 = 2

2) W momencie, kiedy nie ma już żadnych możliwych do wykonania działań po obu stronach równania, przystępujemy do przenoszenia wszystkich niewiadomych „x” na lewo, natomiast wszystkie liczb na prawo i wykonujemy ostatnie działania po obu stronach.

– 4x = – 8

3) W tym kroku przechodzimy do podzielenia obu stron równania przez liczbę, która znajduje się przy niewiadomej „x”.

-4x = -8 / -4
x = 2

4) Aby sprawdzić, czy równanie zostało rozwiązane poprawnie wystarczy podstawić w równaniu wyjściowym w miejsce niewiadomej wynik naszego obliczenia.

3 * 2 + 12 – 4 * 2 – 3 * 2 – 2 = 2
6 + 12 – 8 – 6 – 2 = 2
2 = 2

Strona lewa zgadza się ze stroną prawą, co oznacza, że równanie zostało rozwiązane prawidłowo.

Kilka zadań z równań do rozwiązania:
a) 2x – 11 = 13

b) 4x + 24 = 60 – 9x

c) 9x – 4 = (1/4)x + 3

d) -1,5x + 2 = 9,5

e) 3(2x – 4) + 4x = 2 – 2(x + 1)

f) –(x/3) – 1 = 0

g) 4x – 26y = 2

h) 4x + y = – 11

i) 5x – 2y = 1

j) 6x + 6y = – 8

Na czym polega metoda przeciwnych współczynników?

Jest to jedna z metod rozwiązywania równań. Metoda przeciwnych współczynników polega na dodawaniu równań stronami, w sytuacji, kiedy przy tej samej niewiadomej „x” lub „y” znajdują się przeciwne współczynniki. Pary przeciwnych współczynników to np.: 4 i – 4, 10 i -10, 22 i – 22. Jeżeli przy niewiadomych nie występują przeciwne współczynniki musimy je utworzyć poprzez podzielenie lub pomnożenie równania.

Metoda przeciwnych współczynników jest o wiele krótsza od innych metod stosowanych do rozwiązywania równań. Metoda także jest o wiele mniej skomplikowana i łatwiejsza do zrozumienia i wykonania niż np. często stosowana metoda podstawiania.
Przykłady rozwiązywania równań za pomocą metody przeciwnych współczynników:
10x – 6y = 42
2x – 4y = 14

I sposób na rozwiązanie równania: Redukujemy niewiadome „x” poprzez pomnożenie obu stron. Pierwsze równanie mnożymy przez 2, natomiast drugie przez – 10.
10x – 6y = 42 | * 2
2x – 4y = 14 | * (- 10)

20x – 12y = 84
– 20x + 40y = – 140

W tej chwili mając takie równanie możemy przejść do odejmowania równań.

28y = – 56

Dzielimy równanie przez 28 aby uzyskać niewiadomą „y”.

28y = – 56/28
y = – 2

W następnym kroku podstawiamy w miejsce niewiadomej „y” liczbę – 2.
10x – 6y = 42
10x – 6 * (-2) = 42
10x + 12 = 42

Przenosimy liczby na stronę prawą równania.

10x = 42 – 12
10x = 30

Dzielimy obie strony równania przez 10, aby wyodrębnić niewiadomą „x”.

10x = 30
10x = 30 | : 10
x = 3

Rozwiązaniem powyższego układu równań jest y = -2 i x = 3.

II sposób na rozwiązanie układu równań jest bardzo podoba do pierwszej. W tym sposobie zamiast redukować na początku niewiadome „x” będziemy redukować niewiadomą „y”.

10x – 6y = 42
2x – 4y = 14

Redukujemy niewiadome „y” poprzez pomnożenie obu stron. Pierwsze równanie mnożymy przez 4, natomiast drugie przez – 6.

10x – 6y = 42 | * 4
2x – 4y = 14 | * (- 6)

40x – 24y = 168
– 12x + 24y = – 84

W tej chwili mając takie równanie możemy przejść do odejmowania równań.

28x = – 84

Dzielimy równanie przez 28 aby uzyskać niewiadomą „x”.

28x = – 84 |: 28
x = 3

W następnym kroku podstawiamy w miejsce niewiadomej „x” liczbę 3.
10x – 6y = 42
10 * 3 – 6y = 42
30 – 6y = 42

Przenosimy liczby na stronę prawą równania.

– 6y = 42 – 30
– 6y = 12

Dzielimy obie strony równania przez -6 , aby wyodrębnić niewiadomą „y”.

– 6y = 12
– 6y = 12| : – 6
y = – 2

Rozwiązaniem powyższego układu równań jest y = -2 i x = 3.

Przykłady układów równań do rozwiązania przy zastosowaniu metody przeciwnych współczynników:

a) 3x + 3y = 15
4x – 5y = -15

b) 2x + 2y = 14
3x – 4y = – 14

c) 2x + 12y = 8
– 4 x + 55y = 6

d) (5/6)x – (2/3)y = 5/3
(3/2)x – y = 2

e) (3/4)x – (4/5)y = x – 3y
3(4 – x) – 10(y – 1) = – 125

f) 2x – 13y = – (2/3)x
3x + 2y = 17,75

g) x + 3y = 5
2x – y = 3

h) x + 12y = 81
22,75x – 2,5y = – 15,25

i) 3x + 4y = – 4
2x – 3y = -5,5

j) 3x + 5y = 17
2x − 3y = 5

k) 5x – y = 80
2x + 4y = – 3

l) 5x + 6y = − 28
7x + 8y= − 38

Zadanie. Co należy zrobić, aby:
a) Aby zredukować zmienną x z układu równań 3x – 12y = 6x + 4y = 10, należy drugie równanie pomnożyć przez jaką liczbę?
b) Aby zredukować zmienną x z układu równań 3x – 2y = 12x + 15y = 13, należy pierwsze i drugie równanie pomnożyć odpowiednio przez jaką liczbę?