Liczby Parzyste

Liczby parzyste – wszystko co musisz wiedzieć

Matematyka jest niewątpliwie królową nauk. Warto więc zauważyć, że jej znajomość jest konieczna, wszak wykorzystuje się ją w codziennym życiu. Na pewno bardzo ważnym zagadnieniem jest parzystość liczb, która odnosi się do liczb całkowitych.

Liczby parzyste – co trzeba wiedzieć?

Liczby parzyste to liczby całkowite, które dają się podzielić przez 2, przy czym musimy tutaj wspomnieć, że nie może występować żadna reszta. Ogólny wzór na liczbę parzystą:

n = 2k, dla k = 0, 1, 2, 3, · · ·;
Mamy wiec ciąg nieskończony liczb parzystych
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, · · ·;

Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą, co oznacza, że iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą. Liczba całkowita jest parzysta, jeśli przystaje do 0 modulo ideału, co oznacza, że jeśli jest przystająca do 0 modulo 2, a nieparzysta jeśli jest przystająca do 1 modulo 2.

O historii słów kilka

Już Starożytni Grecy zastanawiali się nad parzystością liczb. Dużą wątpliwość mieli szczególnie względem liczby 1, której to nie potrafili zdefiniować, wszak nie jest w pełni parzysta, ani też nieparzysta. Te wątpliwości przez kolejne wieki narastały i nawet na początku XIX wieku zastanawiano się czy można uznać liczbę 1 w stu procentach za parzystą bądź nieparzystą. Wilhelm Frobel był nauczycielem i filozofem, który w swoim dziele “Wychowanie człowieka” instruował nauczycieli, że nie powinni przywiązywać się do parzystości czy nieparzystości liczby 1, gdyż nie ma naukowych dowodów, które by popierały jakąkolwiek teorię. Jasno mówił, że każdy uczeń powinien pamiętać, że prawo matematyczne jest dalekosiężne i obejmuje prawo natury i myśli. Tak więc między liczbami parzystymi i nieparzystymi znajduje się jedna liczba, którą najtrudniej zdefiniować gdyż nie jest ani parzysta ani nieparzysta i tą liczbą jest 1.

Teoria liczb

Liczby parzyste są formą ideału. Można określić je więc jako te, które tworzą ideał w pierścieniu liczb całkowitych. Element tożsamości dla dodawania zero jest tylko i wyłącznie elementem liczb parzystych, co oznacza, że każda liczba całkowita jest parzysta, jeśli jest przystająca do 0 owego ideału. Natomiast wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste, ale tutaj jest jeden wyjątek, który jest liczbą pierwszą, a przy tym jest liczbą parzystą to oczywiście liczba 2.

Liczby doskonałe – czym są?

W teorii liczb występuje takie zjawisko, jak liczba doskonała. Jest to liczba całkowita dodatnia, która jest sumą jej dodatnich dzielników, ale z wyłączeniem samego numeru. Np. liczba 6 ma dzielniki 1,2,3, wyłączając siebie. 1+2+3=6, więc 6 jest liczbą doskonałą. Każda liczba doskonała jest liczbą parzystą. Jednocześnie suma dzielników liczby z wyłączeniem samej liczby głównej nazywana jest podwielokrotną sumą. Liczba doskonała stanowi więc połowę sumy wszystkich jej dodatnich dzielników. Definicja liczb doskonałych jako liczb parzystych pojawia się już w starożytności, a dokładnie w elementach Euklidesa pt. “Liczba doskonała, idealna lub pełna”. Udowodnił on regułę formowania zgodnie, z którą liczba parzysta jest liczbą doskonałą. Obecnie to prawo nazywa się liczbą pierwszą Mersenna. Do teraz nie wiadomo czy istnieją liczby nieparzyste, które można uznać za doskonałe. Euklides udowodnił także, że 2p – 1 (2p – 1) jest liczbą parzystą doskonałą, jeśli 2p – 1 jest liczbą pierwszą. Z kolei Nikomachus stwierdził, że wszystkie liczby doskonałe, które są parzyste miały postać liczby pierwszej, choć owa teoria nie została jeszcze udowodniona. Wszystkie liczby idealne mają bardzo precyzyjną formę, co oznacza, że liczby parzyste także się nimi określa. Wyniki liczb doskonałych parzystych są bardzo łatwe do udowodnienia, choć jedyna parzysta liczba idealna: x3+1 to 28, co oznacza, że liczba 28 jest liczbą parzystą idealną będącą sumą dwóch sześcianów liczb całkowitych. Liczba dzielników liczby parzystej doskonałej musi być parzysta, a wynika to z tego, że n nigdy nie może być idealnym kwadratem. To prawo zaś odnosi się do liczby harmonicznej Rudy.

Liczby parzyste – czy są liczbami trapezowymi?

Wiele osób może się zastanawiać czy liczby parzyste mogą być liczbami trapezowymi. Otóż jak się okazuje nie jest to możliwe, gdyż nie można ich przedstawić w formie różnicy dwóch dodatnich, co oznacza, że nie następują po sobie liczby trójkątne. Istnieją tylko i wyłącznie trzy rodzaje liczb nietrapezoidalnych i są to liczby parzyste doskonałe, potęgi 2 oraz oczywiście liczby postaci uformowanej jako iloczyn liczby pierwszej Fermata, które mają drugą potęgę, podobnie zresztą jak w przypadku konstrukcji liczb parzystych. Można więc uznać, że jedyna idealna liczba bez kwadratów to 6. Cyfrowy pierwiastek każdej liczby parzystej doskonałej innej niż 6 wynosi 1.

Teoria grup – parzystość permutacji

Parzystość permutacji została zdefiniowana i szczegółowo wyjaśniona w abstrakcyjnej algebrze. Trzeba więc wiedzieć, że parzystość liczb transpozycji w permutacji może być rozłożona, np. A, B, C do B, C, A jest parzyste, a to dlatego, że można to zrobić zamieniając A i B, a następnie C i A, czyli dwie transpozycje. Żadna permutacja nie może być rozłożona w parzystej liczbie transpozycji. Stąd definicja ma zastosowanie choćby w kostce Rubika czy innych tego typu łamigłówkach.

Twierdzenie Feita-Thompsona jako grupa skończona

Feit-Thompson uważa, że każda grupa skończona jest zawsze rozwiązywalna, ale tylko wtedy, gdy jest liczbą nieparzystą. Zatem w zaawansowanym stwierdzeniu nieparzystość porządku nie odnosi się do tzw. oczywistości. Stąd też grupa skończona jest nierozwiązywalna w sytuacjach liczb parzystych.

Parytet funkcji – co warto wiedzieć?

Liczby parzyste są ściśle wykorzystane i mają szczegółowe zastosowanie w analizie parytetu funkcji. W tym przypadku każda funkcja parzysta taka jak parzysta potęga zmienna daje taki sam wynik dla wszystkich argumentów jak dla jego negacji. Oczywiście możliwe jest, że funkcja staje się nieokreślona, gdyż nie można uznać jej ani za parzystą ani też nieparzystą. Tutaj doskonałym tego przykładem, który jasno przedstawia zasady jest f(x)=0. Szereg Taylora z funkcją parzystą zawiera warunek, w których wykładnikiem jest liczba parzysta. Wtedy też mamy do czynienia z funkcją parzystą.

Liczba zło – odniesienie do parzystości

Występuje coś takiego jak kombinatoryczna teoria gier, w której to definiuje się liczbę zło. Ta liczba to oczywiście liczba 1 w określeniu do reprezentacji binarnej. Odgrywa ona ważną rolę w odniesieniu do strategii gry Kaylesa. Oznacza to, że funkcja parzystości zawsze odwzorowuje liczbę na 1 w binarnej reprezentacji modulo 2, co przekłada się na to, że wartość wynosi 0 dla liczb złych i 1 dla odrażających.

Hipoteza Goldbacha – co musicie wiedzieć?

Hipoteza Glodbacha jest już naprawdę starym problemem, który liczy sobie ponad 250 lat i pomimo usilnych prób nadal nierozwiązanym. W tym przypadku trzeba sobie uświadomić, jak wygląda owy problem. Na samym początku musimy odnieść się do listu Leonarda Eulera, który przedstawił hipotezę, że każda nieparzysta liczba naturalna większa niż 5 może być przedstawiona w postaci trzech liczb pierwszych. Problem poruszył już Kartezjusz, gdyż wspomniał, że według jego wiedzy każda liczba parzysta musi składać się z jednej, dwóch lub trzech liczb pierwszych. Z tego wzięło się prawo Goldbacha, który uznał, że 1 jest liczbą pierwszą, choć aktualnie koncepcja nie jest stosowana. Euler postanowił znacząco uprościć koncepcję i przedstawić ją w prosty sposób, a dokładnie: każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych, choć tak naprawdę jest to hipoteza Eulera, to nadal nazywa się ją hipotezą Goldbacha. Na przestrzeni lat próbowano wprowadzić hipotezę w życie poprzez udowodnienie jej, co jednak jest bardzo trudne. Dzięki technologii informatycznej, a dokładnie użyciu komputerów udało się pokazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4 razy 10 do potęgi 17. To oznacza, że przedstawienie każdej z tych liczb jest możliwe w postaci sumy dwóch liczb pierwszych. Warto poznać stanowisko współczesnych matematyków, którzy uważają, że hipoteza jest prawdziwa, a to dlatego, że gęsty rozkład liczb pierwszych sprawia, że większe liczby parzyste można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych. Do teraz oferuje się bardzo duże nagrody za udowodnienie bądź zaprzeczenie hipotezy Goldbacha, a mimo to do dnia dzisiejszego nie jest ona pod kątem naukowym rozstrzygnięta. Aktualnie udało się jedynie udowodnić, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 jest możliwa do przedstawienia jako suma co najwyżej 6 liczb pierwszych. Udowodniono także, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może być przedstawiona jako suma liczby pierwszej oraz liczby, która ma co najwyżej dwa czynniki pierwsze. Udowodnił to Chen w 1966 roku. Wykazano także, że występuje zbiór liczb parzystych, który nie spełnia hipotezy Goldbacha. Ma on gęstość 0. Tutaj należy pamiętać, że wraz ze wzrostem n odsetek liczb parzystych mniejszych od n, które nie spełniają hipotezy Goldbacha dąży do 0. Część hipotezy Goldbacha uznawana jest za słabą. Peruwiański matematyk Helfgott w swojej pracy stwierdził, że udało mu się udowodnić, iż hipoteza Goldbacha jest słaba dla liczb nieparzystych mniejszych od 10 do potęgi 30, a w drugiej dla liczb nieparzystych większych od przedstawionej granicy. W kolejnych latach, a dokładnie w 2013 i 2015 roku przedstawił, że słaba hipoteza Goldbacha dotyczy także implikacji liczb. A więc implikuje, że wszystkie dostatecznie duże liczby parzyste można zapisać w postaci co najwyżej czterech liczb pierwszych. Za dowód słabej hipotezy Goldbacha peruwiański matematyk otrzymał nagrodę od prestiżowego czasopisma naukowego.

Teoria parzystości liczb i samo odniesienie się do parzystości nie jest bardzo łatwe. Na przestrzeni wieków filozofowie i naukowcy pracują nad potwierdzeniem i obaleniem licznych teorii, które odnoszą się do parzystości liczb, próbując obalić choćby teorię Goldbacha. Zatem pozostaje to fascynującym zagadnieniem.