Mediana

Mediana – wzór, zastosowanie, zadania.

Mediana – co to jest?

Mediana jest jednym z parametrów statystycznych, która służy do określenia wartości centralnej. Mediana nazywana jest również drugim kwartylem lub wartością środkową. To jedna z najpopularniejszych miar centralnych, wyznaczająca wartość środkową, którą wyznacza się ze zbioru uporządkowanych liczb. Mediana dzieli zbiór (obserwacje) na dwie równe ilościowo grupy. Co za tym idzie wyliczenie mediany wskazuje, że 50% wyników jest mniejszych, a 50% większych od wartości mediany.

Mediana wzór

Medianę najczęściej oznacza się symbolem Me lub Mdn, przy czym obie formy są poprawne. W przypadku nieskomplikowanych zbiorów zazwyczaj nie ma potrzeby stosowania wzoru na medianę, jednak przy dużych zbiorach jest on bardzo przydatny.

pozMe=(n+1)/2

Wyjaśnienie symboli:
pozMe – to pozycja mediany w zbiorze obserwacji, której wartość stanowi medianę
n – liczba obserwacji

Przykład 1.
Oblicz medianę dla zbioru liczb: 2, 3, 12, 6, 8, 11, 9

W pierwszej kolejności należy uporządkować zbiór od najmniejszej do największej wartości: 2, 3, 6, 8, 9, 11, 12

Następnie należy sprawdzić liczbę obserwacji, która w tym przypadku wynosi 7 i obliczyć pozycje mediany:
n= 7
pozMe=(7+1)/2 = 8/2 = 4

Pozycja mediany to 4 obserwacja, a więc w tym zbiorze mediana wynosi 8. Oznacza to, że 50% liczb w tym zbiorze jest mniejsza lub równa 8, a 50% obserwacji jest większa lub równa 8.

Jak widać wyliczanie mediany w przypadku zbiorów o nieparzystej liczbie obserwacji, jest bardzo proste. Wystarczy uporządkować zbiór, poczynając od najmniejszej wartości, a następnie odszukać środkową wartość, która stanowi medianę zbioru.

Przykład 2.

Pielęgniarka wykonuje pomiar wzrostu uczniów i otrzymuje następujące wyniki:
148, 152, 146, 152 ,156, 143, 144, 143, 151, 160, 149
Porządkujemy zbiór:
143, 143, 144, 146, 148, 149, 151, 152, 152, 156, 160
n=11

Szukamy pozycji mediany.
pozMe=(11+1)/2 = 12/2 = 6

Skoro pozycja mediany to 6, to sama mediana wynosi 149.

Oznacza to, że w tej grupie 50% uczniów jest wzrostu równego lub mniejszego niż 149, a 50% uczniów jest wzrostu równego lub większego niż 149.

Przykład 3.

Wyznacz medianę ze zbioru liczb: 1, 4, 8, 6, 12, 11, 9, 13.

Porządkujemy zbiór: 1, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13
n=8
Szukamy pozycji mediany.
pozMe=(8+1)/2 = 9/2 = 4,5

Ze względu na to, że w zbiorze nie ma obserwacji w pozycji 4,5, należy wyliczyć średnią arytmetyczną z dwóch najbliższych (niższej i wyższej) obserwacji, czyli obserwacji 4. i 5.
obserwacja 4 ma wartość: 8
obserwacja 5 ma wartość: 9

(8+9)/2 = 17/2 = 8,5

Oznacza to, że połowa obserwacji jest równa lub niższa niż 8,5, a połowa obserwacji jest równa lub wyższa niż 8,5.

Zatem jeśli liczba obserwacji jest parzysta, aby wyznaczyć medianę, należy wyliczyć średnią arytmetyczną z dwóch środkowych wartości uporządkowanego wzoru.

Przykład 4.

Kasia ma piątkę dzieci w wieku 2, 4, 6, 8, 12 lat. Oblicz medianę wieku dzieci.

pozMe= (5+1)/2 = 6/2 = 3

3. obserwacja w zbiorze wynosi 6, co stanowi medianę wieku dzieci.

Kasia ma czwórkę dzieci w wieku 2, 4, 6, 8 lat. Oblicz medianę wieku dzieci.
pozMe= (4+1)/2 = 5/2 = 2,5

Z uwagi na to, że jest to zbiór parzysty należy obliczyć średnią arytmetyczną z dwóch środkowych wartości, czyli w tym przypadku z liczb 4 i 6:
(4+6)/2 = 10/2 = 5

Jak widać, wartość mediany nie mówi nam nić o wartościach skrajnych, a jedynie wyznacza wartość środkową. Przykładowo wiedząc, że mediana z rocznych wynagrodzeń za 2020 r. pana Iksińskiego wynosi 3500 zł, wiemy, że połowa jego zarobków za ten okres była równa lub niższa niż 3500 zł, a połowa była równa lub wyższa niż 3500 zł.

Do czego przydaje się mediana?

Mediana jest szczególnie przydatna w statystyce i w pracach badawczych (również magisterskich). Pozwala ona podzielenie badanych lub obserwacji na dwie względnie grupy o takiej samej liczebności. Można to wykorzystać np. do podzielenia grupy badawczej ze względu na zarobki na mniej zamożnych i zamożnych. Stosując medianę jako tak zwany punkt odcięcia otrzymujesz informacje do jakiej kwoty zarobków można mówić o ludziach mniej zamożnych, a od jakiej kwoty zarobków można mówić o ludziach zamożnych.

Mediana szczególnie przydaje się w przypadku wartości opisowych, gdzie nie ma możliwości wyliczenia średniej. Przykład: podczas badania określono poziom wykształcenia badanych osób: 2 osoby mają wykształcenie podstawowe, 3 osoby wykształcenie gimnazjalne, 2 osoby wykształcenie średnie. Po zapisie i uporządkowaniu wartości od najmniejszej wyglądałoby to w następujący sposób:
podstawowe, podstawowe, gimnazjalne, gimnazjalne, gimnazjalne, średnie, średnie
Wyznaczając medianę otrzymamy wartość: gimnazjalne. Z uwagi na brak liczb nie ma możliwości obliczenia średniej.

Zalety mediany:

jest niezależna od wartości skrajnych, (co może być też wadą mediany).
jest przydatna przy wartościach opisowych (np. rozmiary ubrań: S, M, L, itd.)
można ją wyliczyć, nawet jeśli nie zna się wszystkich wartości liczbowych. Przykład:
Wiemy, że w grupie liczącej 10 osób: 3 osoby zarabiają 2000 zł, 4 osoby zarabiają 3500 zł, 2 osoby zarabiają 4000 zł, a jedna osoba zarabia więcej niż 6000 zł. Ze względu na to, że nie wiemy ile dokładnie zarabia ostatnia osoba (może to być 6500 zł, 8000 zł, 1000 zł itd.), nie ma możliwości wyliczenia średniej zarobków osób z tej grupy, ale można wyliczyć wartość mediany.

Wartości skrajne – wyższość mediany nad średnią arytmetyczną

Jak wcześniej wspomniano mediana jest niezależna od wartości skrajnych, co czasem czyni ją bardziej przydatną od wartości arytmetycznej.

Przykład:
1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 42

Dla tego zbioru mediana wynosi 3, a średnia arytmetyczna wynosi 6,2. Jak widać ze zbioru wyróżnia się liczba 42, jeśli pominiemy ją przy wyliczaniu średniej, to wyniesie ona 3,25, czyli wartość ta będzie bliższa medianie. Zatem w przypadku wartości skrajnych mediana lepiej określa wartość centralną niż średnia arytmetyczna.

Wartości skrajne potrafią mocno wpłynąć na wynik średniej arytmetycznej, co widać na powyższym przykładzie.

Ciekawostka

Główny Urząd Statystyczny co roku publikuje dane o zarobkach Polaków, podaje również średnią i medianę zarobków. W 2018 r. średnia zarobków brutto wynosiła 5003,78 zł, a mediana zarobków wynosiła 4094,98 zł. Jak widać, mediana jest niższa o prawie tysiąc złotych. Raport GUS informuje również, że 10% najgorzej zarabiających Polaków otrzymało wynagrodzenie brutto niższe niż 2224,17 zł. Natomiast 10% najlepiej zarabiających Polaków otrzymało wynagrodzenie wynoszące 8239,84 zł lub więcej. Jeśli do tego weźmiemy pod uwagę dominantę (wartość, która występuje najczęściej w danym zbiorze), a która wynosiła około 2300 zł brutto to zauważymy, że mediana jest bliższa tej wartości. Średnia arytmetyczna ponownie zostaje mocno zawyżona przez garstkę ludzi najlepiej zarabiających, podczas, gdy większość osób zarabia zdecydowanie poniżej średniej.
Warto zatem wyliczać zarówno medianę jak i średnią arytmetyczną, i spróbować zastanowić się, z czego wynika różnica w ich wartościach.

Przykładowe zadania

Zadanie 1.

W przedszkolu zapytano dzieci ile mają rodzeństwa, a wyniki przedstawiono w następujący sposób.
liczba dzieci 4 5 5 3
liczba rodzeństwa 0 1 2 3
Oblicz medianę.

Zadanie 2.

Podaj medianę dla zbioru liczb:
1, 2, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 2, 4, 3, 5, 1, 1, 1, 3, 3, 5.

Zadanie 3.
W 4 rzutach kostką otrzymano wyniki: 4, 1, 2, 5

Oblicz medianę.
Zadanie 4.

W pewnej firmie zatrudnionych jest 7 pracowników. Wiemy, że:
dwóch zarabia 4000 zł, jeden zarabia 3000 zł, jeden zarabia 5000 zł, jeden zarabia mniej niż 2500 zł, a dwóch więcej niż 5000 zł.

Oblicz medianę zarobków pracowników w tej firmie.

Zadanie 5.

W klasie nauczycielka zapytała dzieci, ile mają zwierzątek domowych. Okazało się, że dwoje dzieci nie ma zwierząt, szóstka dzieci ma 1 zwierzątko, ósemka dzieci ma 2 zwierzątka, trójka dzieci ma 4 zwierzęta, a trójka dzieci ma 3 zwierzęta.

Oblicz medianę liczby posiadanych przez dzieci zwierząt.

Zadanie 6.
Szkoła taneczna planuje zakup bluz sportowych dla swoich uczniów, w tym celu poprosiła o podanie rozmiarów poszczególne osoby. Okazało się, że pięć osób nosi rozmiar M, dwie osoby rozmiar L, cztery osoby rozmiar S, a dwie rozmiar XS.

Podaj medianę dla tego zbioru.

Zadanie 7.
Oblicz medianę liczb: 7,8,3,4,9,2.

Zadanie 8.

Oblicz medianę dla zbioru liczb:
5, 8, −1, 6, 6, 1, 10.

Rozwiązania do zadań:

Zadanie 1.
Mamy 17 dzieci w grupie.
Wiemy, że:
dzieci od 1 do 4 mają 0 rodzeństwa
dzieci od 5 do 9 mają 1 rodzeństwo
dzieci od 10 do 14 mają 2 rodzeństwa
dzieci od 15 do 17 mają 3 rodzeństwa

pozMe = 17+1/2 = 18/2 = 9
Wystarczy odszukać wartość pozycji 9, która w tym przypadku wynosi 1
Me = 1

Zadanie 2.
pozMe = 20+1/2 = 21/2 = 10,5
Zatem należy wyliczyć średnią arytmetyczną z wartości obserwacji 10 i 11 (1 i 2)
1+2/2 = 1,5

Me = 1,5

Zadanie 3.
Uporządkowany zbiór: 1, 2, 4, 5
pozMe= 4+1/2=2,5
Średnia arytmetyczna wartości pozycji 2 i 3:
2+4/2=3
Me=3

Zadanie 4.
Chcąc uporządkować zbiór, można dokonać następującego zapisu:
<2500, 3000, 4000, 4000, 5000, >5000, >5000
Liczba obserwacji w tej grupie wynosi 7.
pozMe=7+1/2 = 8/2 = 4
Wartość pozycji 4 wynosi 4000 zł.
Me = 4000

Zadanie 5.
Obserwacje można zapisać za pomocą ciągu liczb:
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4
Liczba obserwacji: 22
pozMe=22+1/2 = 23/2 = 11,5
Ponieważ wartości pozycji 11 i 12 są takie same, i wynoszą 2, nie ma potrzeby wyliczania średniej arytmetycznej.
Me= 2

Zadanie 6.
Sposób 1)
Zbiór można zapisać od razu go porządkując w następujący sposób:
XS, XS, S, S, S, S, M, M, M, M, M, L, L

Liczba pozycji wynosi 13
pozMe = 13+1/2 = 14/2 = 7

7 pozycja w tym zbiorze to: M
Sposób 2)

Wiemy, że:
osoby od 1 do 2 noszą rozmiar XS,
osoby od 3 do 6 noszą rozmiar S,
osoby od 7 do 11 noszą rozmiar M,
osoby od 12 do 13 noszą rozmiar L.

Liczba pozycji wynosi 13
pozMe = 13+1/2 = 14/2 = 7

7 pozycja w tym zbiorze to: M

Zadanie 7.
Porządkujemy liczby w kolejności niemalejącej:
2, 3, 4, 7, 8, 9
W tym przypadku nie mamy jednej liczby środkowej, zatem bierzemy dwie liczby środkowe: 4 oraz 7, a następnie liczymy ich średnią arytmetyczną:
4+7/2 = 5,5
Me = 5,5

Zadanie 8.
Porządkujemy liczby od najmniej do największe:
−1, 1, 5, 6, 6, 8, 10
liczba pozycji: 7
pozMe= 7+1/2= 8/2= 4

Czwarta pozycja w tym zbiorze ma wartość 6.
Me=4