Twierdzenie sinusów i cosinusów

Wszystko, co trzeba wiedzieć o twierdzeniu sinusów oraz twierdzeniu cosinusów 

Twierdzenie sinusów – najważniejsze informacje
Jak brzmi twierdzenie sinusów?
W dowolnym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie. Przy założeniu, że długości boków są wyrażone za pomocą liter a, b, c, natomiast kąty leżące odpowiednio naprzeciw tych boków to alfa, beta, gamma, to można zapisać wzór: a/sin(alfa) = b/sin(beta) = c/sin(gamma) = 2 * R, gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zastosowanie twierdzenia sinusów
Twierdzenie sinusów przede wszystkim wykorzystujemy w zadaniach, w których mamy podane dwa kąty oraz jeden bok trójkąta lub gdy dane są dwa boki i kąt leżący naprzeciw jednego z nich, lub gdy dane są trzy kąty oraz promień okręgu opisanego na trójkącie.

Przykład 1
Stosując poprzednie oznaczenia, mamy zadanie z następującymi danymi alfa = 60, gamma = 45, a = 3. Najpierw obliczmy długość boku c. Z twierdzenia sinusów otrzymujemy następujące równanie 3/sin60 = c/sin45. Wyznaczając z równania c mamy c = (3 * sin45)/sin60. Teraz można podstawić za sinusy odpowiednie wartości. Mamy c = (3 * (pierwiastek z dwóch/2))/(pierwiastek z trzech/2) = (3 * pierwiastek z dwóch)/pierwiastek z trzech. Następnie wiedząc, że suma kątów w trójkącie wynosi 180, możemy wyznaczyć kąt beta. 60 + beta + 45 = 180, czyli beta = 75. Teraz możemy wyznaczyć długość boku b. Z twierdzenia sinusów otrzymujemy następujące równanie 3/sin60 = b/sin75. Wyznaczając z równania b mamy b = (3 * sin75)/sin60. Następnie podstawiamy za sinusy odpowiednie wartości, czyli b = (3 * ((pierwiastek z sześciu + pierwiastek z dwóch)/4)/(pierwiastek z trzech/2)). W ten sposób wyznaczyliśmy długości wszystkich boków tego trójkąta.

Przykład 2
Należy wyznaczyć długość trzeciego boku trójkąta, wiedząc, że dwa boki mają długość 6 i 3 * pierwiastek z sześciu, a naprzeciw boku o długości 6 leży kąt o mierze 45 stopni.
Oznaczmy sobie a = 6, b = 3 * pierwiastek z sześciu, alfa = 45. Z twierdzenia sinusów mamy 6/sin45 = 3 * pierwiastek z sześciu/sin(beta). Podstawiamy za sinusa odpowiednią wartość i mamy 6/(pierwiastek z dwóch/2) = 3 * pierwiastek z sześciu/sin(beta). Wykonując odpowiednie przekształcenia otrzymujemy sin(beta) = pierwiastek z trzech/2, co oznacza, że beta = 60. Teraz wiedząc, że suma kątów w trójkącie wynosi 180, możemy wyznaczyć kąt gamma. 45 + 60 + gamma = 180, czyli gamma = 75. Następnie korzystając ponownie z twierdzenia sinusów, boku a i kąta alfa można wyznaczyć, ile wynosi 2 * R. 6/(pierwiastek z dwóch/2) = 2 * R. Stąd 2 * R = 12/pierwiastek z dwóch. Można usunąć niewymierność z mianownika i wtedy otrzymamy 2 * R = 6 * pierwiastek z dwóch. Oznaczmy sobie trzeci bok jako c. Wtedy c/sin75 = 6 * pierwiastek z dwóch. Podstawiając za sinusa odpowiednią wartość mamy c/((pierwiastek z sześciu + pierwiastek z dwóch)/4) = 6 * pierwiastek z dwóch. Wykonując odpowiednie przekształcenia, otrzymujemy, że c = 3 * pierwiastek z dwóch * ((pierwiastek z sześciu + pierwiastek z dwóch)/2). Wyznaczyliśmy długość trzeciego boku tego trójkąta, czyli zadanie zostało rozwiązane.

Przykład 3
Należy wyznaczyć długości boków trójkąta, wiedząc, że alfa = 60, beta = 75, gamma = 45, R = pierwiastek z sześciu.
Z twierdzenia sinusów mamy a/sin60 = b/sin75 = c/sin45 = 2 * pierwiastek z sześciu. Podstawiamy za sinusy odpowiednie wartości i wyznaczamy długości kolejnych boków, a/(pierwiastek z trzech/2) = 2 * pierwiastek z sześciu. Stąd a = 3 * pierwiastek z dwóch. Następnie b/((pierwiastek z sześciu + pierwiastek z dwóch)/4) = 2 * pierwiastek z sześciu. Stąd b = 3 + pierwiastek z trzech. I ostatni bok c/(pierwiastek z dwóch/2) = 2 * pierwiastek z sześciu. Stąd c = 2 * pierwiastek z trzech. W ten sposób wyznaczyliśmy długości wszystkich boków tego trójkąta, czyli zadanie zostało rozwiązane.
Twierdzenie sinusów stosujemy również w innych zadaniach (niż te podane wyżej) i często w takich zadaniach wykorzystujemy również inne twierdzenia czy własności.

Twierdzenie cosinusów – najważniejsze informacje
Jak brzmi twierdzenie cosinusów?
W dowolnym trójkącie kwadrat jednego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwójny iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi. Przy założeniu, że długości boków są wyrażone za pomocą a, b, c, natomiast kąty leżące odpowiednio naprzeciw tych boków to alfa, beta, gamma, można zapisać to następująco: a do kwadratu = b do kwadratu + c do kwadratu – 2 * b * c * cos(alfa), b do kwadratu = a do kwadratu + c do kwadratu – 2 * a * c * cos(beta), c do kwadratu = a do kwadratu + b do kwadratu – 2 * a * b * cos(gamma).

Zastosowanie twierdzenia cosinusów
Twierdzenie cosinusów przede wszystkim wykorzystujemy w zadaniach, w których mamy podane dwa boki i jeden kąt między nimi lub trzy boki.

Przykład 1
Wiedząc, że dwa boki trójkąta mają długość 3 i 4, a kąt między nimi wynosi 60 stopni, wyznacz długość trzeciego boku oraz miary pozostałych dwóch kątów.
Wprowadźmy następujące oznaczenia: a = 3, b = 4, gamma = 60. Stosując twierdzenie cosinusów mamy c do kwadratu = 9 +16 – 2 * 12 * 1/2, czyli c do kwadratu = 25 – 12. Zatem c = pierwiastek z trzynastu. Teraz wyznaczmy kąt alfa. Z twierdzenia cosinusów mamy a do kwadratu = b do kwadratu + c do kwadratu – 2 * b * c * cos(alfa). Wstawiając odpowiednie wartości, otrzymujemy 9 = 16 + 13 – 2 * 4 * pierwiastek z trzynastu * cos(alfa). Wyznaczając cos(alfa) wykonując odpowiednie przekształcenia otrzymujemy cos(alfa) = 5/(2 * pierwiastek z trzynastu), co w przybliżeniu daje 0,69, czyli alfa = 46. Następnie również z twierdzenia cosinusów możemy wyznaczyć kąt beta. Mamy b do kwadratu = a do kwadratu + c do kwadratu – 2 * a * c * cos(beta), a po wstawieniu odpowiednich wartości, otrzymujemy 16 = 9 + 13 – 2 * 3 * pierwiastek z trzynastu * cos(beta). Wyznaczając cos(beta) otrzymujemy, że cos(beta) = 1/pierwiastek z trzynastu, co w przybliżeniu daje 0,28, czyli beta = 74. Można sprawdzić, że alfa + beta + gamma = 180, 46 + 74 + 60 = 180. Zatem kąty zostały wyznaczone poprawnie, a więc zadanie jest rozwiązane.

Przykład 2
Wyznacz cosinusy kątów w trójkącie o bokach a = 4, b = 6, c = 7.
Zacznijmy od wyznaczenia cos(alfa). Z twierdzenia cosinusów mamy a do kwadratu = b do kwadratu + c do kwadratu – 2 * b * c * cos(alfa), czyli 16 = 36 + 49 – 2 * 6 * 7 * cos(alfa). Wyznaczając cos(alfa) otrzymujemy cos(alfa) = 23/28. Następnie wyznaczmy cos(beta). Z twierdzenia cosinusów mamy b do kwadratu = a do kwadratu + c do kwadratu – 2 * a * c * cos(beta), a po wstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy 36 = 16 + 49 – 2 * 4 * 7 * cos(beta). Wyznaczając cos(beta) otrzymujemy, że cos(beta) = 29/56. Został do wyznaczenia jeszcze cos(gamma). Z twierdzenia cosinusów mamy c do kwadratu = a do kwadratu + b do kwadratu – 2 * a * b * cos(gamma). Po wstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy 49 = 16 + 36 – 2 * 4 * 6 * cos(gamma). Wyznaczając cos(gamma) otrzymujemy, że cos(gamma) = 1/16. Dodatkowo mając cosinusy wszystkich kątów w trójkącie, można wyznaczyć ich miary. W przybliżeniu cos(alfa) wynosi 0,82, cos(beta) wynosi 0,52, a cos(gamma) wynosi 0,06. Zatem alfa = 35, beta = 59, gamma = 86. Można sprawdzić, że alfa + beta + gamma = 180, bo 35 + 59 + 86 = 180. Zatem zadanie zostało rozwiązane poprawnie.

Twierdzenie cosinusów stosujemy również w innych zadaniach (niż te podane wyżej) i często w takich zadaniach wykorzystujemy również inne twierdzenia czy własności.

Dzięki temu artykułowi znasz już najważniejsze informacje na temat twierdzenia sinusów oraz twierdzenia cosinusów i wiesz, w jakich przypadkach najczęściej się je stosuje. Z tą wiedzą rozwiązywanie zadań z trójkątami powinno być znacznie prostsze. Należy pamiętać o tym, że zarówno twierdzenie sinusów, jak i twierdzenie cosinusów dotyczy wszystkich trójkątów, a nie tylko prostokątnych jak w przypadku twierdzenia Pitagorasa, więc pamiętanie o nich jest bardzo ważne przy rozwiązywaniu zadań z trójkątami, ponieważ najczęściej w oparciu o nie można sobie poradzić nawet z najtrudniejszym zadaniem.