Wielomiany

Wszystko, co należy wiedzieć o wielomianach

Matematyka jest niezmiernie ważną dziedziną w naszym życiu, jednak często zdarza się, iż jest ona dla nas trudna i niezrozumiała, a wręcz jej nie lubimy. Jest również uważana powszechnie za jeden z najmniej lubianych przedmiotów szkolnych przez uczniów. Dlaczego właściwie tak jest? Czy rzeczywiście jest ona tak skomplikowana, jak to się zwykło mówić? Otóż niekoniecznie. Przede wszystkim warto zauważyć, iż zapewne nieświadomie, przekazujemy sobie niechęć do matematyki z pokolenia na pokolenie. Często rodzice opowiadają swoim dzieciom, jak to trudno było na matematyce w szkole i jak niemili byli nauczyciele, którzy jej uczyli. Dzieci nabywają tę wiedzę, wymieniają się nią następnie ze sobą wzajemnie i automatycznie również zaczynają odczuwać swego rodzaju niechęć do tego przedmiotu, często nieuzasadnioną. Ta niechęć jest także spowodowana faktem, iż jako rodzice nielubiący zwykle matematyki, w ogóle nie edukujemy swoich dzieci na ten temat. Od samego początku przecież uczymy dzieci chodzić, mówić, czytać i pisać, ale czy uczymy ich dodawania i odejmowania lub choćby rozróżniania cyferek? W większości przypadków nie, ponieważ sądzimy, iż tym zajmą się nauczyciele wychowania przedszkolnego czy wczesnoszkolnego. Otóż jak najbardziej, to właśnie jest ich zadanie, jednakże warto dziecku również w domu przedstawiać pewne najprostsze zagadnienia matematyczne, żeby mogło potem przyswajać te trudniejsze z łatwością w szkole. Stanowić będzie to niewyobrażalnie wielkie podłoże do tej szkolnej nauki, dokładnie tak samo, jak dzieci, które nauczone są przed pójściem do szkoły alfabetu, już w szkole z łatwością uczą się pisać i czytać. Poza tym matematyki warto się uczyć, chociażby dlatego, iż otacza ona nas każdego dnia. Nie da się więc żyć bez matematyki, ponieważ będzie ona podążać za nami krok w krok. Jeśli tego faktu nie zaakceptujemy i nie będziemy się jej uczyć, będzie nam potem bardzo ciężko zrozumieć nawet najprostsze życiowe kwestie. Na przykład zwykłe pójście do sklepu może okazać się dla nas wtedy trudnością. Jeśli natomiast zrozumiemy, iż matematyka otacza nas praktycznie w każdej chwili i będziemy przyjmować ją otwarcie, to również otwarcie i łatwo będziemy ją przyswajać. W szkole dzieci uczą się na matematyce coraz trudniejszych i bardziej skomplikowanych działów tej dziedziny, dlatego warto zwrócić szczególną uwagę na to, by dzieci w swojej nauce żadnego z działów nie pomijały, ponieważ każdy kolejny wynika z poprzedniego, należy więc dopilnować, by dzieci jak najbardziej przyswajały dany, przerabiany aktualnie materiał, by następnie z łatwością mogły przechodzić do następnego. Jednym z takich matematycznych działów przedstawianych w szkole dzieciom są wielomiany, które z początku mogą wydawać się nieco skomplikowane, aczkolwiek wystarczy dobrze do nich podejść i na różne sposoby ułatwiać sobie ich przyswajanie, by dobrze je zrozumieć.

Czym są wielomiany?
Wielomiany są to wyrażenia algebraiczne, które są sumą jednomianów. Żeby dobrze zrozumieć to pojęcie i daną definicję, należy najpierw zrozumieć, czym są wyrażenia algebraiczne oraz jednomiany. Otóż wyrażenia algebraiczne to nic innego jak po prostu wzory matematyczne, będące układem cyfr liczb i wszelkich znaków oznaczających różnego rodzaju działania matematyczne. Jednomiany z kolei to wyrażenia, które są iloczynami liczb i zmiennych. Wielomianami są także funkcje, takie jak funkcja kwadratowa czy funkcja liniowa. Dla przykładu wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w wyznaczoną wzorem w(x) = a_nx^n + a_{n−1}x^{n−1} + . . . . + a_1x + a_0, przy czym n ∈ N ∪ {0}, a_0, a_1, . . . , a_n ∈ R oraz a_n ≠0. Przy czym liczby a_0, a_1, . . . , a_n nazywa się współczynnikami wielomianu, natomiast liczbę a0 nazywa się wyrazem wolnym. Liczbę n nazywamy z kolei stopniem wielomianu w i wyznaczamy symbolem st.w(x). Wielomiany niezerowe możemy zapisywać jako wyrazy lub ich sumy, gdzie ich liczba zawsze musi być skończona. Składają się one ze stałej mnożonej przez liczbę zmiennych. Żeby jeszcze lepiej pojąć to wyrażenie, najlepiej jest bardzo dobrze przyswoić sobie definicję funkcji kwadratowej, dzięki której możemy badać wiele rzeczy. Definicja samej funkcji mówi nam o tym, iż funkcja stanowi podporządkowanie każdemu elementowi jednego zbioru, a funkcja kwadratowa to taka, kiedy w jej wzorze występuje x^2 i może wystąpić x lub stała. Kiedy mowa jest o pierwiastku wielomianu, chodzi tutaj o to, iż liczbę rzeczywistą nazywa się pierwiastkiem wielomianu tylko w takiej sytuacji, kiedy w(a) = 0. Gdy mowa natomiast o równości wielomianów, wielomiany w_1 i w_2 równe są tylko, gdy w_1(x) = w_2(x) dla każdego x ∈ R.

Twierdzenia
Z pojęciem wielomianów związane jest także wiele twierdzeń. Żeby dobrze zrozumieć każde z nich, należy najpierw wytłumaczyć sobie dobrze, na czym w ogóle polega twierdzenie. Twierdzenie jest to swego rodzaju sąd w formie zdań, który zakłada z góry swoją prawdziwość. Najczęściej twierdzenia nazywamy za pomocą imion osób, które były ich twórcami. Na przykład twierdzenie Talesa, to twierdzenie, którego autorem był Tales. Nie mieszajmy jednak pojęć, ponieważ twierdzenie Talesa nie ma nic wspólnego z wielomianami. Z nimi ma związek na przykład twierdzenie o reszcie, mówiące o tym, iż reszta dzielenia wielomianu w(x) przez x−a jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. w(a). Innym twierdzeniem związanym z wielomianami jest twierdzenie B´ezouta, które mówi, iż liczba a jest pierwiastkiem wielomianu tylko i wyłącznie w sytuacji, gdy wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian x − a. Jeszcze innym twierdzeniem jest twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, które mówi, iż jeżeli liczba wymierna p/q , gdzie p ∈ C oraz q ∈ C \ {0}, jest pierwiastkiem wielomianu w(x) = a_nx^ n + a_{n−1}x^{n−1} + . . . + a_1x + a_0 o współczynnikach całkowitych, przy czym a_n ≠ 0 i a_0 ≠ 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0, natomiast q jest podzielnikiem współczynnika a_n. Kolejnym twierdzeniem jest twierdzenie o pierwiastkach całkowitych informujące, iż jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w o współczynnikach całkowitych zdefiniowanego przy pomocy równości w(x) = a_nx^n + a_{n−1}x^{n−1} + . . . + a_1x + a_0, przy czym a_0 ≠ 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a_0. Jeszcze inne zagadnienie to definicja pierwiastka k-krotnego wielomianu, mówiąca o tym, iż liczbę a nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielomianu w, jeśli w(x) dzieli się przez (x − a)^k i nie dzieli się przez (x − a)^{k+1} . Liczbę naturalną k nazywamy krotnością pierwiastka.

Pierwiastki w wielomianach
Pierwiastkiem wielomianu f(x) nazywamy liczbę a, dla której dwumian x-a dzieli bez reszty wielomian f. Miejsce zerowe w przypadku funkcji wielomianowej nazywamy wartością zmiennej, dla której wartość funkcji wielomianowej wynosi 0. Istnieje także wiele metod, które mają za zadanie ułatwiać wyznaczanie pierwiastków w danym wielomianie. Jest to na przykład zasadnicze twierdzenie algebry, mówiące nam o tym, iż każdy wielomian zespolony stopnia n ma pierwiastek zespolony, czyli każdy wielomian zespolony ma n pierwiastków zespolonych. Inną taką metodą jest twierdzenie Sturma, pozwalające na wyznaczanie liczby pierwiastków wielomianu rzeczywistego w przedziale (a,b). Inne ułatwiające sprawę twierdzenie, to twierdzenie Hurwitza, które z kolei pozwala rozstrzygnąć, czy aby wszystkie pierwiastki wielomianu rzeczywistego położone są w lewej półpłaszczyźnie zespolonej. Istnieje także reguła Kartezjusza, która mówi o tym, iż liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest zawsze równa liczbie zmian znaku, między następnymi niezerowymi współczynnikami bądź mniejsza od niej o wielokrotność liczby 2. Zamieniając x na –x można więc oszacować liczbę ujemnych pierwiastków. Na przykład wielomian x^3+x^2-x-1 ma jeden pierwiastek dodatni.

Wykresy
Wielomiany mają także swoje wykresy, które można zapisywać w prostokątnym układzie współrzędnych, a więc w prostoliniowym układzie, który ma dwie prostopadłe względem siebie osie. Jeśli chodzi o ten dział matematyczny, tworząc wykres wielomianów powinniśmy zwracać uwagę, czy wykres przecina oś pionową w punkcie (0, a_0), gdzie a_0 to wyraz wolny tego wielomianu, Wykresem wielomianu stopnia pierwszego jest prosta o współczynniku kierunkowym równym najstarszemu współczynnikowi wielomianu oraz wielomian zerowy z wielomianem stopnia zerowego posiadają wykres, którym jest prosta będąca równoległą do poziomej osi wykresu.
Dodatkowo warto również dodać, iż wielomiany, biorąc pod uwagę ich silne własności, między innymi ciągłość czy różniczkowalność, odgrywają bardzo ważną rolę w analizie matematycznej. Służą one przede wszystkim do przybliżania funkcji, a do najważniejszych wyników, jeśli chodzi o ten dział, należy między innymi twierdzenie Weierstrassa czy też wielomiany Czebyszewa i Legendre’a. Wielomiany mają także wiele innych odsłon, których jednak nie trzeba znać w pełni, żeby zrozumieć ich podstawową ideę. Podobnie jak większość działów matematyki (i nawet nie tylko, jeśli chodzi o matematykę, ponieważ ta zasada sprawdza się przy wielu dziedzinach) być może są troszkę skomplikowane, jednak to, czy je zrozumiemy, zależy głównie od naszego podejścia i chęci. Jeśli będziemy chcieli je zrozumieć, to nasz umysł będzie znaczenie bardziej otwarty niż w przypadku, jeśli absolutnie nie będziemy chcieli ich zrozumieć i będziemy się do tego zmuszać. Zawsze do nauki powinniśmy więc podchodzić w sposób otwarty i przyjazny, a zauważymy wtedy taką różnicę, iż będzie ona przychodzić nam z dużo większą łatwością niż zazwyczaj. Dobre nastawienie zawsze ma ogromne znaczenie w każdej sytuacji i bardzo wpływa także na nasze samopoczucie, tak więc nie powinniśmy tylko do nauki podchodzić dobrze nastawieni, a do możliwie każdej sytuacji. Warto uczyć się matematyki i poznawać jej różne działy, choćby dlatego, by zaspokoić swoją ciekawość świata. Być może ktoś mógłby teraz powiedzieć, że matematyka nie jest na tyle ciekawa, byśmy odczuwali potrzebę uczenia się jej, jednak nasza ludzka ciekawość sięga dużo dalej, niż nam się wydaje. To właśnie dlatego wiele rzeczy może spodobać nam się czy zainteresować nas nagle, dlatego też warto uczyć się wielu rzeczy i poznawać je, by w końcu ostatecznie móc powiedzieć, co interesuje nas najbardziej.